E137. © RG
Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 >
25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux entiers positifs strictement inférieurs à 100 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.
© RG : Copyright Richard Guy
Solution proposée par Jean Guitonneau
Q1 Soit Uk la suite en question. Elle est par construction croissante. On a Uk= Nk/Dk ou Uk=Nk/N(k-1) et Uk+1=Nk+1/Nk avec Nk+1 le plus petit carré tel la suite Uk soit croissante.
On peut donc construire la suite en prenant Nk+1 =( Entier(Racine(N²k/N(k-1))) +1)²
La suite est croissante et Uk+1 -Uk est égal à ( Entier(Racine(N²k/N(k-1))) +1)²/Nk -Nk/N(k- 1) soit <2. Racine(N²k/N(k-1))/Nk + 1/Nk -~ 2/√N(k-1).
Les Nk étant croissants avec un facteur supérieur à 6,8 et les racine de (Nk) supérieur à 2,6.
La suite est donc croissante et convergente vers la limite 6,8541…
Q2 La fraction initiale est U1=64²/65².
Les 35ème et 36ème éléments de cette suite font apparaître le carré de 2020 soit U35=2020²/1787² et U36=2284²/2020².
