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Alors nous avons :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

E137. © RG***

Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.

Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 > 25/9.

Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.

Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont le numérateur et le dénominateur de la première fraction sont deux entiers positifs strictement inférieurs à 100 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.

© RG : Copyright Richard Guy

PROPOSITION Th Eveilleau

Q1

Les premiers termes sont : 4/1 ;

25/4 ; 169/25 ; 1156/169 ; 7921/1156 ; 54289/7921 ; 372100/54289 ; 2550409/372100 ; 17480761/2550409 ; 119814916/17480761 ; 821223649/119814916

2²/1 ; 5²/2² ; 13²/5² ; 34²/13² ; 89²/34² ; 233²/89² ; 610²/233² ; 1597²/610² ; 4181²/1597² ; 10946²/4181² ; 28657²/10946²

Notons pn² /qn² les fractions successives obtenues avec p0 = 1 ; p1 = 2 ; p3 = 5 . Si la fraction de rang n est notée :

alors

=

Alors nous avons : pn = 3*pn-1 - qn-1 ET qn = pn-1 OU pn = 3*pn-1 - pn-2 Etudions cette suite

Elle est croissante

Travaillons sur les racines carrées des numérateurs et dénominateurs : soient Tn = et Tn+1 =

La différence Tn+1 - Tn est positive pour p² - 3pq + q² < 0 (équation second degré en p fonction de q) donc pour (*) q ( ) < p < q ( )  q <

=

ET q >

=

Les deux premiers numérateurs et dénominateur vérifient cette propriété.

Nous allons montrer que si p et q vérifient cette propriété (*), alors le couple suivant (3p-q) et q vérifient aussi cette propriété.

(*)  3 q ( ) - q < 3p – q < 3 q ( ) - q  q ( ) < 3p – q < q ( ) Et finalement cette relation entraîne p ( ) < 3p – q < p ( )

Nous avons bien une suite croissante.

(2)

Elle est majorée Soit

alors

=

= 3 -

+

= 3

Chacun des deux termes

et

étant positif,est donc majoré par 3.

Le carré de chaque terme :

est donc majoré par 3² = 9

 La suite est croissante et majorée elle admet donc une limite.

Calcul de la limite

Si la fraction de rang n est notée : Pn / Qn alors Pn / Qn = pn ² / qn ²

Alors nous avons : pn = 3*pn-1 - qn-1 ET qn = pn-1 OU pn = 3*pn-1 - pn-2 donc pn / qn = pn / pn-1 = 3 + qn-1 / pn-1

A la limite notée L du rapport précédent, nous obtenons : L = 3 +1/L

 L – 3 – 1/L =0  L² - 3L + 1 = 0

Nous avons deux solutions :

ET

Cependant nous ne pouvons considérer le deuxième terme qui est plus petit que 1 (car la suite est strictement croissante avec le premier terme égal à 2 =

)

Donc la limite du rapport pn / qn est

2.618 (l’autre racine est inférieure à 2 et ne peut être retenue).

Aussi la limite de

=

est ( )² soit = 3.5 +

et donc 6.8541 = 4

Cette suite permet bien de construire la suite de Richard Guy avec p0=2 et q0=1 Avec x =

nous avons

<  x < 3 –

 x² - 3x +1 < 0

OR l’expression x² - 3x +1 est négative pour x <

2.618

Avec x =

, cela permet d’affirmer que < pour <

La courbe f(x) = 3-1/x ci-dessous montre que x < 3 – pour les valeurs x <

2.618

et x

>

0.38

(3)

Il faut aussi montrer qu’on obtient ainsi le plus petit terme satisfaisant la condition donc que avec un terme plus petit 3p-q-1, cela ne fonctionne pas.

<

c’est-à-dire 3 - -

< x  0 < x² - 3x +

+ 1  x² + x (- 3 +

)

+ 1 > 0

 x² - 3x +

+ 1 > 0

Posons =

-

on a

> 1/4

OR cette expression est positive pour x >

et x <

La condition précédente montre que pour x >

et donc a fortiori pour x >

nous avons x² - 3x +1 > 0 et donc x² - 3x +

+ 1 > 0 c’est-à-dire <

.

La suite proposée répond bien au problème.

(4)

Remarque

Nous reconnaissons les termes de la suite de Fibonacci, pris une fois sur deux.

On peut noter d’après la remarque précédente que la limite de

est le carré de la limite du rapport d’une sous séquence de l suite de Fibonacci :

(un terme sur deux à partir de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... ), de la suite de Fibonacci.

Et,

si l’on pose pn = Um avec Um comme mième terme de la suite de Fibonacci, nous avons

=

Aussi

=

*

On sait que lorsque m tend vers l’infini, le rapport de deux temes de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’or .

Aussi

tendra vers  ² 2.618

Enfin,

=

tendra vers 4. On a bien 6.8541

Q2

Les premiers termes sont : Avec les premiers termes 34 et 2

Nous obtenons au cinquième rang (bon ce n’est pas plus grand que 15 !) : 25²/34 ;

108²/25² ; 467²/108² ; 2020²/467² 2020²/2020²

Enfin en partant de la fraction

,

nous obtenons 2020 dans les fractions aux 17ièmes et 18ièmes rangs .

;

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