A545 – Puissances en duo et trios
Q₁ : Trouver les deux entiers m et n strictement positifs qui minimisent l’écart en valeur absolue entre 47m et 13n.
Q₂ : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3x – 5y = z².
Q₃ : Résoudre en p, q et r nombres premiers l’équation 7p³ – q³ = r⁶.
Solution proposée par Patrick Gordon Ébauche de solution pour Q1
Notons E l'écart 47m – 13n et exprimons E mod. 13.
Les restes de la division par 13 des puissances de 47 sont cycliquement : 8, 12, 5, 1.
Donc E = 8, 12, 5, 1 mod. 13 et |E| de même.
E étant pair, seules les valeurs 8 et 12 sont envisageables parmi les plus petites. Au- delà, on pourrait avoir bien sûr E = 14, 18, etc.
On commencera toutefois par E = 8 ou 12, car il existe une solution avec E = 12. En effet :
472 – 133 = 12.
Seule la valeur |E| = 8 reste donc à envisager.
Exprimons cette fois E mod. 47. On trouve que 137 = 62 748 517 ce qui, mod. 47 donne 35 (complément à 47 de 8).
Cherchons une puissance de 47 proche de ce nombre. Il est compris entre 474 = 4 879 681 et 475 = 229 345 007. On est donc fort loin d'une solution minimale.
Certes, comme les puissances de 13 mod. 47 présentent un cycle de 46, on pourrait envisager 1353. Son logarithme décimal est 56,039… donc le logarithme décimal du 47m le plus proche devrait être proche de 35,308…
Mais 1353 = 1,09395E+59 et la puissance de 47 "proche" serait comprise entre 4735 = 3,33753E+58 et 4736 = 1,56864E+60. Les écarts étant de plus en plus astronomiques, on en restera là et l'on conclura que :
Le minimum de l’écart en valeur absolue entre 47m et 13n est atteint pour m = 2, n = 3 et vaut 12.
Ébauche de solution pour Q₂ L'équation
1) 3x – 5y = z²
a une solution évidente : x = 2
y = 1 z = 2.
Voyons s'il y en a d'autres.
Les puissances de 3 mod. 10 valent cycliquement : 3, 9, 7, 1. Si l'on en retranche un nombre égal à 5 mod. 10, le résultat mod. 10 vaut, dans le même ordre : 8, 4, 2, 6.
Mais, comme le premier membre de (1) est pair, z est pair et son carré mod. 10 vaut : 0, 4 ou 6. Il en résulte que seules les valeurs paires de x peuvent conduire à une solution. Posons donc x = 2t.
L'équation (1) se récrit : 2) (3t)²– 5y = z²
soit :
(3t)²– z² = 5y donc :
3) (3t – z) (3t + z) = 5y
Les deux termes du premier membre doivent donc être des puissances de 5. Or leur différence vaut 2z, donc z doit (en principe) être divisible par 5. Mais alors, ni (3t – z) ni (3t + z) ne le sont et donc ne peuvent pas être des puissances de 5.
À moins que (3t – z) = 1. Dans ce cas, on a z = (3t – 1), d'où : (3t + z) = 23t – 1 et l'équation (3) se récrit :
4) 23t – 1 = 5y
On retrouve la solution évidente t = 1, y =1, mais est-elle unique?
Solution pour Q₃
Notons tout d'abord que l'équation 1) 7p3 – q3 = r6
a 1 ou 3 inconnues paires, c’est-à-dire égales à 2, car p, q, r sont des nombres premiers.
Manifestement p, q, r = 2 ne la satisfait pas. Donc p, q ou r = 2.
Nous discuterons donc sur ces 3 cas.
Par ailleurs, l'équation (1) se récrit :
2) 7p³ = (r²)3 + q3 = (r² + q) (r4 – r²q + q²)
Donc (r² + q) doit diviser 7 ou p³ (ou les deux si p = 7).
Cas de p = 2
L'équation (2) s'écrit :
(r² + q) (r4 – r²q + q²) = 78 = 56.
Donc (r² + q) = 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
Les deux premières valeurs sont impossibles.
(r² + q) = 7 implique r = 2, mais on a déjà p = 2, par hypothèse.
(r² + q) = 8 est impossible.
(r² + q) = 14 n'est possible qu'avec r = 3, q = 5, mais alors 7p3 – q3 = 78 – 125 <0, donc impossible.
(r² + q) = 28 n'est possible qu'avec r = 3, q = 19 et r = 5, q = 3. Dans le premier cas, 7p3 – q3 = 78 – 6859 <0, donc impossible. Dans le second cas, 7p3 – q3 = 78 – 9 = 47, qui n'est pas égal à 56.
(r² + q) = 56 n'est possible qu'avec r = 3, q = 47 ou r = 5, q = 31 ou r = q = 7. Dans les trois cas, on vérifie que l'équation (1) n'est pas vérifiée.
Donc p = 2 est impossible.
Cas de q = 2
L'équation (2) s'écrit :
3) (r² + 2) (r4 – 2r² + 4) = 7p3.
Comme (r² + 2) ne saurait diviser 7, il divise p3, donc (r² + 2) = p, p² ou p3.
Si (r² + 2) = p,
En reportant p = (r² + 2), dans (3) simplifiée, soit : (r4 – 2r² + 4) = 7p²,
on obtient l'équation en r : r4 + 5r² + 4 = 0
qui n'a pas de racines réelles en r.
Si (r² + 2) = p²,
Il n'y a à l'évidence pas de solution, car il faudrait que (p + r) (p – r) = 2.
Si (r² + 2) = p3,
En reportant p3 = (r² + 2), dans (3) simplifiée, soit : (r4 – 2r² + 4) = 7
soit encore (r4 – 2r² + 1) = 4, on voit qu'il faudrait que r² – 1 = ± 2, ce qui est impossible.
Donc q = 2 est impossible.
Cas de r = 2
L'équation (2) s'écrit :
4) (q + 4) (q² – 4q + 16) = 7p3.
(q + 4) ne peut diviser 7 (c’est-à-dire être égal à 7) que si q = 3, mais alors (q² – 4q + 16) = 9 – 12 + 16 = 13, qui n'est pas un cube.
Donc (q + 4) = p, p², p3, 7p, 7p², 7p3.
Si (q + 4) = p
Alors, (q² – 4q + 16) = 7p², avec q = p – 4. En développant, on arrive à l'équation p² + 2p – 8
= 0, qui n'a qu'une racine positive p = 2, ce qui est exclu comme on l'a vu.
Si (q + 4) = p²
Alors, q = (p + 2) (p – 2), qui n'est premier que si (p – 2) = 1, soit p = 3 et q = 5.
Mais alors l'équation (4) s'écrit : (q² – 4q + 16) = 7p Or 5² – 45 + 16 = 21 = 73.
Le triplet : p = 3 q = 5 r = 2
est solution de l'équation (1).
Voyons si cette solution est unique.
Si (q + 4) = p3
Alors, (q² – 4q + 16) doit être égal à 7, mais l'équation q² – 4q + 9 = 0 n'a pas de racines réelles.
Si (q + 4) = 7p
Alors, (q² – 4q + 16) doit être égal à p², avec q = 7p – 4. En reportant, on aboutit à l'équation q² – 17q + 64 = 0
qui n'a pas de racines entières.
Si (q + 4) = 7p²
Alors, (q² – 4q + 16) doit être égal à p. En reportant, on aboutit à l'équation q² – 4q + 16 = 0
qui n'a pas de racines réelles.
Si (q + 4) = 7p3
Alors, (q² – 4q + 16) doit être égal à 1. Mais l'équation q² – 4q + 15 = 0
n'a pas de racines réelles.
La solution p = 3 q = 5 r = 2 est bien unique.
