Une nouvelle minoration pour la trace absolue des entiers algébriques totalement positifs

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Submitted on 18 Jul 2016

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Une nouvelle minoration pour la trace absolue des entiers algébriques totalement positifs

Valérie Flammang

To cite this version:

Valérie Flammang. Une nouvelle minoration pour la trace absolue des entiers algébriques totalement

positifs. 2016. �hal-01346165�

UNE NOUVELLE MINORATION DE LA TRACE DES ENTIERS ALGEBRIQUES TOTALEMENT POSITIFS

V. FLAMMANG

1 Introduction

Soit α un entier alg´ ebrique de degr´ e d ≥ 2, totalement positif, i.e., dont les conjugu´ es α = α

, . . . , α

sont tous des r´ eels positifs et de polynˆ ome minimal P . On pose

S

=

d

X

i=1

α

.

La trace absolue de α se d´ efinit par

T race(α) = 1

d trace(α) = 1 d S

et on d´ esigne par T l’ensemble de tels T race(α).

Le probl` eme de Schur-Siegel-Smyth pour la trace (appel´ e ainsi par P. Borwein dans son livre [B]) est le suivant :

On se fixe ρ < 2. Il faut alors montrer que tous les entiers alg´ ebriques totalement positifs, sauf un nombre fini, v´ erifient T race(α) > ρ.

Le probl` eme a ´ et´ e r´ esolu en 1918 par I. Schur pour ρ < √

e [Sc] puis en 1945 par C. L. Siegel pour ρ < 1.7337 [Si]. Les r´ esultats de Schur et de Siegel font intervenir des in´ egalit´ es sur le discriminant d’un entier alg´ ebrique qui est la quantit´ e

Disc(α) = Y

1≤i<j≤d

(α

− α

)

.

Tous les nombreux r´ esultats ult´ erieurs se basent sur le principe des fonctions auxiliaires qui re- pose sur le fait que le r´ esultant de deux polynˆ omes ` a coefficients entiers et sans facteurs communs est un entier non nul. Ainsi en 1984, C.J. Smyth r´ esout le probl` eme pour ρ < 1.7719 [Sm3], en 1997, V. Flammang, M. Grandcolas et G. Rhin pour ρ < 1.7735 [F2], en 2004, J. McKee et C.J.

Smyth pour ρ < 1.7783786 [McS1], en 2006, J. Aguirre, M. Bilbao et J. C. Peral pour ρ < 1.7800 [ABP], en 2006 par V. Flammang pour ρ < 1.7822 (communication priv´ ee ` a C. J. Smyth). En 2007, J. Aguirre et J. C. Peral ont r´ esolu le probl` eme pour ρ < 1.7836 [AP1] puis en 2008 pour ρ < 1.784109 [AP2]. En 2009, nous l’avons r´ esolu pour ρ < 1.78702 [F3]. J. McKee [Mc] a r´ esolu le probl` eme en 2011 pour ρ < 1.78839 en utilisant une partie de nos polynˆ omes ayant des racines complexes provenant de la fonction auxiliaire donn´ ee dans [F3]. En 2011 ´ egalement, Y. Liang et Q. Wu [LW] ont r´ esolu le probl` eme pour ρ < 1.79193.

Nous montrons ici les th´ eor` emes suivants :

Th´ eor` eme 1. Si α est un entier alg´ ebrique totalement positif de degr´ e d et polynˆ ome minimal

diff´ erent de x, x−1, x

−3x+1, x

−5x

+6x −1, x

−7x

+13x

−7x+1 et x

−7x

+14x

−8x+1

alors on a :

1

d trace(α) ≥ 1.792806.

Rappelons qu’un entier alg´ ebrique α de degr´ e d est r´ eciproque si son polynˆ ome minimal P v´ erifie P (x) = x

.P (1/x).

Corollaire 1. Si α est un entier alg´ ebrique totalement positif et r´ eciproque de degr´ e d et de polynˆ ome minimal diff´ erent de x

− 3x + 1 et x

− 7x

+ 13x

− 7x + 1, alors on a :

1

d trace(α) ≥ 1.896403.

Th´ eor` eme 2. Si α est un entier alg´ ebrique totalement positif de polynˆ ome minimal diff´ erent de x, x −1, x−2, x

−3x+1, x

−5x

+6x−1, x

−7x

+14x

−8x+1, x

−9x

+28x

−35x

+15x−1 et x

− 11x

+ 45x

− 84x

+ 70x

− 21x + 1 alors on a :

1

d S

≥ 5.321767.

Th´ eor` eme 3. Si α est un entier alg´ ebrique totalement positif de polynˆ ome minimal diff´ erent de x, x − 1, x − 2, x

− 3x + 1, x

− 5x

+ 6x − 1, x

− 9x

+ 28x

− 35x

+ 15x − 1, x

− 11x

+ 45x

− 84x

+ 70x

− 21x + 1, x

− 15x

+ 91x

− 286x

+ 495x

− 462x

+ 210x

− 36x + 1 et x

− 17x

+ 120x

− 455x

+ 1001x

− 1287x

+ 924x

− 330x

+ 45x − 1 alors on a :

1

d S

≥ 17.568276.

Remarques

Les minorations des Th´ eor` emes am´ eliorent les plus r´ ecentes connues ` a savoir celles obtenues par Y. Liang et Q. Wu en 2011 qui sont respectivement 1.79193, 5.31935 et 17.56765.

La minoration du corollaire am´ eliore celle de X. Dong et Q. Wu [DW] qui est de 1.8945909.

Les polynˆ omes qui interviennent dans ces trois th´ eor` emes ainsi que leurs exposants se trouvent en fin de note ainsi que sur le site : http ://iecl.univ-lorraine.fr/ Valerie.Flammang/Trace.txt

2 Le principe des fonctions auxiliaires

La fonction auxiliaire qui intervient dans l’´ etude de la trace est du type : pour x > 0, f (x) = x − X

1≤j≤J

c

log |Q

(x)| (1)

o` u les c

sont des nombres r´ eels positifs et les polynˆ omes Q

sont des polynˆ omes non nuls de ZZ[x].

Cette fonction auxiliaire a ´ et´ e introduite par C. J. Smyth dans [Sm2].

Soit m le minimum de la fonction f. Si P ne divise aucun des polynˆ omes Q

, on a alors

d

X

i=1

f (α

) ≥ md i.e.,

trace(α) ≥ md + X

1≤j≤J

c

log |

d

Y

i=1

Q

(α

)|.

Puisque P ne divise aucun des Q

, alors

d

Y

i=1

Q

(α

) est un entier non nul car il est le r´ esultant de P et de Q

.

Par cons´ equent, si α n’est pas une racine de Q

, on a T race(α) ≥ m.

Par ailleurs, J. P. Serre ( voir Appendix B dans [AP2]) a montr´ e que cette m´ ethode ne peut pas donner une telle in´ egalit´ e pour ρ plus grand que 1.8983021. . . Par cons´ equent, cette m´ ethode ne peut pas ˆ etre utilis´ ee pour montrer que 2 est le plus petit point d’accumulation de T .

N´ eanmoins, il est int´ eressant d’essayer d’obtenir des minorations pour T race(α). Par exemple, cela a ´ et´ e utilis´ e dans la recherche de nombres de Salem de petit degr´ e et de trace -2 par J.

McKee et C. J. Smyth [McS1]. Y. Liang et Q. Wu ont obtenu, grˆ ace ` a leur r´ esultat, le degr´ e minimum d’un nombre de Salem de trace -4 et -5 [LW].

Remarque : Dans la fonction auxiliaire de la trace, il suffit de remplacer x par x

puis par x

pour obtenir les fonctions auxiliaires qui interviennent pour S

et S

.

3 Relation entre fonction auxiliaire et diam` etre transfini entier g´ en´ eralis´ e

3.1 Rappels sur le diam` etre transfini entier g´ en´ eralis´ e Soit K un compact de C . Le diam` etre transfini de K se d´ efinit par

t(K) = lim inf inf |P |

1 n

∞,K

n ≥ 1 P ∈ C [X]

n → ∞ P unitaire deg(P) = n o` u |P |

= sup

z∈K

|P (z)| pour P ∈ C [X].

Nous d´ efinissons le diam` etre transfini entier de K par

t

(K) = lim inf inf |P |

1 n

∞,K

n ≥ 1 P ∈ ZZ[X]

n → ∞ deg(P) = n

Enfin, si ϕ est une fonction positive d´ efinie sur K, le ϕ-diam` etre transfini entier g´ en´ eralis´ e de K se d´ efinit par

t

(K) = lim inf inf sup

|P (z)|

ϕ(z) . n ≥ 1 P ∈ Z [X] z ∈ K

n → ∞ deg(P ) = n

Cette version du diam` etre transfini entier pond´ er´ e a ´ et´ e introduite par F. Amoroso [A2] et

est un outil important dans l’´ etude des approximations rationnelles de logarithmes de nombres

rationnels.

3.2 Lien avec les fonctions auxiliaires

Dans la fonction auxiliaire (1), on remplace les c

par des nombres rationnels a

/q o` u q est un entier > 0 tel que q.c

soit un entier pour tout 1 ≤ j ≤ J . On peut alors ´ ecrire :

pour x > 0, f(x) = x − t

r log |Q(x)| ≥ m (2) o` u Q =

J

Y

j=1

Q

∈ ZZ[X] est de degr´ e r =

J

X

j=1

a

deg Q

et t =

J

X

j=1

c

deg Q

(cette formulation a

´

et´ e introduite par J. P. Serre). Par cons´ equent, on cherche un polynˆ ome Q ∈ ZZ[X] tel que sup

x>0

|Q(x)|

e

≤ e

.

Si l’on suppose t fix´ e, cela revient ` a trouver une borne sup´ erieure effective pour le diam` etre transfini entier pond´ er´ e de l’intervalle [0, ∞[ avec le poids ϕ(x) = e

:

t

([0, ∞[) = lim inf inf sup

|P (x)|

ϕ(x) r ≥ 1 P ∈ ZZ[X] x > 0

r → ∞ deg(P ) = r

Remarque : Mˆ eme si l’on a remplac´ e le compact K par l’intervalle infini [0, ∞[, le poids ϕ assure que la quantit´ e t

([0, ∞[) est finie.

4 Construction d’une fonction auxiliaire

Le point essentiel est de trouver une liste de ”bons” polynˆ omes Q

, i.e., qui donnent la meilleure valeur possible de m. Jusqu’en 2003, les polynˆ omes ´ etaient trouv´ es de fa¸ con heuristique. Par exemple, dans [Sm3] et [AP1], les auteurs ont cherch´ e une collection de polynˆ omes de petite trace absolue dont toutes les racines sont positives. En 2003, Q. Wu [Wu] a mis au point un algorithme qui permet une recherche syst´ ematique des ”bons” polynˆ omes. La m´ ethode ´ etait la suivante. On consid` ere une fonction auxiliaire comme celle d´ efinie en (1). On se fixe un ensemble E

de points de contrˆ ole uniform´ ement r´ epartis sur un intervalle r´ eel I = [0; A] o` u A est ” suffisamment grand”. Par LLL, on trouve un polynˆ ome Q petit sur E

au sens de la norme quadratique. On teste ce polynˆ ome dans la fonction auxiliaire et on ne conserve que les facteurs de Q qui ont un exposant non nul. La convergence de cette nouvelle fonction fournit des minima locaux que l’on ajoute ` a l’ensemble de points E

pour obtenir un nouvel ensemble de points de contrˆ ole E

. On relance LLL avec l’ensemble E

et on r´ eit` ere le proc´ ed´ e.

En 2006, nous avons apport´ e deux am´ eliorations ` a l’algorithme pr´ ec´ edent dans l’utilisation de LLL. La premi` ere consiste, ` a chaque pas, ` a prendre en compte non seulement les nouveaux points de contrˆ ole mais ´ egalement les nouveaux polynˆ omes de la fonction auxiliaire qui est la meilleure. La seconde est l’introduction d’un coefficient correcteur t. L’id´ ee est d’obtenir les bons polynˆ omes Q

par r´ ecurrence. Ainsi, nous appelons cet algorithme l’algorithme r´ ecursif. Nous le d´ etaillons, toujours pour la trace. Le premier pas consiste ` a optimiser la fonction auxiliaire f

= x − t log x. On a alors t = c

o` u c

est la valeur qui donne la meilleure fonction f

. On suppose qu’on a des polynˆ omes Q

, Q

, . . . , Q

et une fonction f la meilleure possible pour cet ensemble de polynˆ omes sous la forme (2). On cherche un polynˆ ome R ∈ ZZ[x] de degr´ e k (k = 10 par exemple) tel que

sup

x∈I

|Q(x)R(x)|

e

≤ e

,

o` u Q =

J

Y

j=1

Q

. On veut donc que

sup

x∈I

|Q(x)R(x)| exp

−x(r + k) t

soit aussi petit que possible. On applique LLL aux formes lin´ eaires Q(x

)R(x

) exp

−x

(r + k) t

.

Les x

sont des points de contrˆ ole constitu´ es de points uniform´ ement r´ epartis sur l’intervalle I auxquels on a ajout´ e les points o` u f a des minima locaux. On trouve donc un polynˆ ome R dont les facteurs irr´ eductibles R

sont de bons candidats pour agrandir l’ensemble {Q

, . . . , Q

}. On ne conserve que les facteurs R

qui ont un coefficient non nul dans la nouvelle fonction auxiliaire optimis´ ee f . Apr` es optimisation, certains polynˆ omes pr´ ec´ edents Q

peuvent avoir un exposant nul et sont alors rejet´ es.

En 2009, pour obtenir la constante 1.78702, l’algorithme pr´ ec´ edent avait ´ et´ e r´ ep´ et´ e pour k variant de 10 ` a 30. Nous nous ´ etions arrˆ et´ es quand deux pas cons´ ecutifs ne fournissaient plus aucun nou- veau polynˆ ome. Ici, nous avons proc´ ed´ e diff´ eremment. Nous avons fait varier k syst´ ematiquement de 3 ` a 82 et nous avons constat´ e que, mˆ eme apr` es plusieurs pas infructueux, des polynˆ omes ` a exposant non nul apparaissent encore. C’est cette l´ eg` ere variante qui a permis l’am´ elioration des constantes.

Remarque

La constante t obtenue pour la fonction auxiliaire du Th´ eor` eme 1 vaut 2.641327. Elle est proche de la valeur optimale de J. P. Serre qui est ´ egale ` a 2.249214.

5 Optimisation des c _j

On a ` a r´ esoudre un probl` eme du type suivant : trouver max

min

x∈X

f (x, C )

o` u f (x, C ) est une fonction lin´ eaire par rapport ` a C = (c

, c

, . . . , c

) (c

est le coefficient de x qui est ´ egal ` a 1) et X est un domaine compact de C , le maximum ´ etant pris pour c

≥ 0 pour j = 0, . . . , k. Une solution classique consiste ` a prendre de tr` es nombreux points de contrˆ ole (x

)

et ` a r´ esoudre le probl` eme de programmation lin´ eaire standard :

max

min

1≤j≤N

f (x

, C).

Mais alors le r´ esultat obtenu d´ epend des points de contrˆ ole choisis.

L’id´ ee de la programmation lin´ eaire lin´ eaire semi-infinie (introduite en Th´ eorie des Nombres par C. J. Smyth [Sm2]) consiste ` a r´ ep´ eter le processus pr´ ec´ edent en ajoutant ` a chaque ´ etape de nouveaux points de contrˆ ole et ` a v´ erifier que ce proc´ ed´ e converge vers m, la valeur de la forme lin´ eaire pour un choix de C optimum. L’algorithme est le suivant :

(1) On choisit une valeur initiale de C soit C

et on calcule m

= min

x∈X

f (x, C

).

(2) On choisit un ensemble fini X

de points de contrˆ ole appartenant ` a X et l’on a m

≤ m ≤ m

= min

x∈X0

f(x, C

).

(3) On ajoute ` a X

les points o` u f (x, C

) admet des minima locaux pour obtenir un nouvel ensemble X

de points de contrˆ ole.

(4) On r´ esout le probl` eme de programmation lin´ eaire standard : max

min

x∈X₁

f (x, C)

On obtient une nouvelle valeur de C not´ ee C

et un r´ esultat de la programmation lin´ eaire ´ egal

`

a m

= min

x∈X

f (x, C

). On a alors

m

≤ m

≤ m ≤ m

= min

x∈X₁

f(x, C

) ≤ m

,

(5) On r´ ep` ete les ´ etapes (2) ` a (4) et on obtient donc deux suites (m

) et (m

) qui v´ erifient

m

≤ m

≤ . . . ≤ m

≤ m ≤ m

≤ . . . ≤ m

≤ m

,

On s’arrˆ ete d` es qu’il y a assez bonne convergence, quand par exemple, m

− m

≤ 10

. Supposons que p it´ erations suffisent alors on prend m = m

.

6 Preuve du Corollaire 1

Pour obtenir leur r´ esultat, X. Dong et Q. Wu [DW] ont utilis´ e une fonction auxiliaire du type : pour x > 0, f(x) = x + 1

x − X

1≤j≤J

c

log |Q

(x)| − X

1≤j≤J

c

log |Q

( 1 x )|.

Nous proc´ edons diff´ eremment. Soit α un entier alg´ ebrique totalement positif et r´ eciproque de degr´ e d et de polynˆ ome minimal P . Alors il existe un polynˆ ome Q totalement positif de degr´ e d/2 v´ erifiant :

P (X) = X

Q(X + 1 X − 2).

Soient α

, . . ., α

et β

, . . ., β

les racines de P et Q respectivement. Alors on a : pour 1 ≤ i ≤ d/2, β

= α

+ 1

α

− 2 et α

= β

+ 2 ± p

(β

+ 2)

− 4

2 .

Par cons´ equent, trace(P) =

d

X

i=1

α

=

d/2

X

i=1

α

+ 1

α

=

d/2

X

i=1

β

+ 2 + p

(β

+ 2)

− 4

2 + β

+ 2 − p

(β

+ 2)

− 4 2

! ,

i.e., trace(P ) =

d/2

X

i=1

β

+ d = trace(Q) + d. Or, le polynˆ ome Q v´ erifie les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1 donc

trace(P )

d = trace(Q)

d

2

.2 + 1 ≥ 1.792806

2 + 1 = 1.896403.

Polynˆ omes et exposants qui interviennent dans le Th´ eor` eme 1 pol=[x,

x − 1, x − 2, x

− 3x + 1, x

− 4x + 1, x

− 4x + 2, x

− 5x

+ 6x − 1, x

− 6x

+ 9x − 3, x

− 6x

+ 9x − 1, x

− 6x

+ 8x − 1,

x

− 7x

+ 13x

− 7x + 1, x

− 7x

+ 14x

− 8x + 1,

x

− 9x

+ 27x

− 32x

+ 13x − 1, x

− 9x

+ 27x

− 31x

+ 12x − 1, x

− 9x

+ 28x

− 35x

+ 15x − 1, x

− 9x

+ 26x

− 29x

+ 11x − 1,

x

− 11x

+ 43x

− 72x

+ 51x

− 14x + 1, x

− 11x

+ 43x

− 73x

+ 53x

− 15x + 1,

x

− 13x

+ 64x

− 150x

+ 172x

− 89x

+ 18x − 1, x

− 13x

+ 63x

− 143x

+ 157x

− 78x

+ 16x − 1, x

− 12x

+ 54x

− 114x

+ 117x

− 56x

+ 12x − 1, x

− 13x

+ 63x

− 144x

+ 160x

− 80x

+ 16x − 1,

x

− 15x

+ 89x

− 269x

+ 445x

− 402x

+ 187x

− 40x + 3, x

− 15x

+ 90x

− 277x

+ 467x

− 428x

+ 200x

− 42x + 3, x

− 14x

+ 78x

− 221x

+ 339x

− 277x

+ 111x

− 19x + 1, x

− 14x

+ 78x

− 222x

+ 345x

− 289x

+ 120x

− 21x + 1,

x

− 16x

+ 103x

− 344x

+ 643x

− 681x

+ 399x

− 123x

+ 18x − 1,

x

− 18x

+ 134x

− 537x

+ 1265x

− 1798x

+ 1526x

− 743x

+ 194x

− 24x + 1, x

− 18x

+ 134x

− 538x

+ 1273x

− 1822x

+ 1560x

− 766x

+ 200x

− 24x + 1, x

− 18x

+ 135x

− 549x

+ 1320x

− 1920x

+ 1662x

− 813x

+ 206x

− 24x + 1, x

− 19x

+ 150x

− 643x

+ 1641x

− 2573x

+ 2472x

− 1412x

+ 451x

− 71x + 4, x

− 18x

+ 135x

− 549x

+ 1321x

− 1929x

+ 1689x

− 847x

+ 223x

− 26x + 1,

x

−21x

+190x

−972x

+3103x

−6439x

+8780x

−7789x

+4372x

−1483x

+283x

−27x+1, x

− 22x

+ 208x

− 1108x

+ 3666x

− 7840x

+ 10948x

− 9877x

+ 5589x

− 1885x

+ 349x

− 31x + 1,

x

−21x

+190x

−972x

+3102x

−6430x

+8750x

−7742x

+4336x

−1470x

+281x

−27x+1, x

− 22x

+ 207x

− 1093x

+ 3574x

− 7539x

+ 10373x

− 9219x

+ 5145x

− 1718x

+ 318x

− 29x + 1,

x

−21x

+190x

−971x

+3090x

−6373x

+8613x

−7565x

+4216x

−1432x

+277x

−27x+1, x

− 22x

+ 208x

− 1108x

+ 3667x

− 7851x

+ 10995x

− 9977x

+ 5702x

− 1952x

+ 368x

− 33x + 1,

x

− 22x

+ 209x

− 1123x

+ 3757x

− 8125x

+ 11435x

− 10317x

+ 5775x

− 1913x

+ 349x

− 31x + 1,

x

− 23x

+ 229x

− 1298x

+ 4637x

− 10930x

+ 17323x

− 18505x

+ 13193x

− 6143x

+ 1798x

− 310x

+ 28x − 1,

x

− 23x

+ 230x

− 1313x

+ 4730x

− 11240x

+ 17929x

− 19217x

+ 13689x

− 6338x

+ 1837x

− 313x

+ 28x − 1,

x

− 23x

+ 229x

− 1298x

+ 4637x

− 10930x

+ 17322x

− 18499x

+ 13181x

− 6134x

+ 1796x

− 310x

+ 28x − 1,

x

− 23x

+ 231x

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− 105437276x

+ 50878424x

− 19053046x

+ 5451455x

− 1167270x

+ 181746x

− 19728x

+ 1396x

− 57x + 1,

x

−43x

+859x

−10592x

+90343x

−566143x

+2702527x

−10055814x

+29603116x

− 69599896x

+ 131385672x

− 199563191x

+ 243755457x

− 238705077x

+ 186418058x

− 115213090x

+ 55779678x

− 20879404x

+ 5942419x

− 1258437x

+ 192673x

− 20477x

+ 1418x

− 57x + 1,

x

−43x

+858x

−10555x

+89714x

−559619x

+2656292x

−9818214x

+28686052x

− 66882928x

+ 125123719x

− 188251302x

+ 227691298x

− 220785712x

+ 170784613x

− 104628729x

+ 50282707x

− 18724259x

+ 5318251x

− 1128813x

+ 174174x

− 18779x

+ 1329x

− 55x + 1,

x

−43x

+858x

−10555x

+89714x

−559619x

+2656293x

−9818240x

+28686358x

− 66885085x

+ 125133873x

− 188285001x

+ 227772450x

− 220929536x

+ 170972989x

− 104810395x

+ 50410312x

− 18788358x

+ 5340650x

− 1134036x

+ 174934x

− 18840x

+ 1331x

− 55x + 1,

x

−43x

+859x

−10592x

+90344x

−566173x

+2702939x

−10059252x

+29622629x

− 69679793x

+ 131629930x

− 200132368x

+ 244778330x

− 240130036x

+ 187956383x

− 116493244x

+ 56592561x

− 21267254x

+ 6078496x

− 1292501x

+ 198497x

− 21112x

+ 1457x

− 58x + 1,

x

−43x

+858x

−10556x

+89748x

−560149x

+2661319x

−9850685x

+28837542x

− 67411297x

+ 126530720x

− 191148153x

+ 232333528x

− 226587839x

+ 176429798x

− 108880119x

+ 52737121x

− 19795079x

+ 5664221x

− 1209247x

+ 187074x

− 20114x

+ 1408x

− 57x + 1,

x

− 47x

+ 1032x

− 14073x

+ 133650x

− 939584x

+ 5074160x

− 21562027x

+ 73265558x

− 201223170x

+ 449829027x

−821782544x

+ 1228894791x

−1503592842x

+ 1501724324x

− 1219221943x

+ 799781540x

− 420445551x

+ 175258436x

− 57136292x

+ 14310194x

− 2688900x

+ 366902x

− 34680x

+ 2108x

− 72x + 1]

coef=[ 0.53793383, 0.46790921, 0.06201384, 0.17528252, 0.00244359, 0.00594619, 0.06656685,

0.00415865, 0.00162666, 0.00026381, 0.02268826, 0.02087990, 0.00171650, 0.00670572, 0.00494538,

0.00435669, 0.00083999, 0.00026780, 0.00126922, 0.00059158, 0.00116447, 0.00026057, 0.00148560,

0.00074059, 0.00057768, 0.00004154, 0.00054812, 0.00222604, 0.00155412, 0.00207869, 0.00033049,

0.00022743, 0.00177254, 0.00018066, 0.00396194, 0.00036795, 0.00153950, 0.00006089, 0.00001082,

0.00024610, 0.00026106, 0.00013027, 0.00011303, 0.00118914, 0.00121424, 0.00072737, 0.00141169,

0.00133850, 0.00031424, 0.00009481, 0.00053529, 0.00022239, 0.00027012, 0.00265436, 0.00013343,

0.00008118, 0.00058771, 0.00110371, 0.00034140, 0.00057026, 0.00039390, 0.00034566, 0.00061844,

0.00167209, 0.00048967, 0.00053393, 0.00014761, 0.00026572, 0.00004545, 0.00051001, 0.00023718,

0.00053096, 0.00103947, 0.00040674, 0.00006127, 0.00017196, 0.00015398, 0.00015069, 0.00029189,

0.00059635, 0.00184900, 0.00027761, 0.00050559, 0.00005135, 0.00006235, 0.00015616, 0.00001694,

0.00041928, 0.00077785, 0.00096075, 0.00047160, 0.00097929, 0.00010843, 0.00006276, 0.00052579,

0.00007747, 0.00018519]

Polynˆ omes et exposants qui interviennent dans le Th´ eor` eme 2 pol=[x,

x − 1, x − 2, x

− 3x + 1, x

− 4x + 2, x

− 5x

+ 6x − 1, x

− 6x

+ 9x − 1, x

− 6x

+ 9x − 3,

x

− 7x

+ 14x

− 8x + 1, x

− 8x

+ 20x

− 17x + 3, x

− 8x

+ 20x

− 16x + 2,

x

− 9x

+ 27x

− 31x

+ 12x − 1, x

− 9x

+ 28x

− 35x

+ 15x − 1, x

− 9x

+ 27x

− 32x

+ 13x − 1,

x

− 11x

+ 44x

− 79x

+ 63x

− 18x + 1, x

− 11x

+ 45x

− 84x

+ 70x

− 21x + 1, x

− 11x

+ 44x

− 78x

+ 60x

− 16x + 1, x

− 11x

+ 44x

− 78x

+ 59x

− 15x + 1,

2x

− 26x

+ 136x

− 367x

+ 544x

− 435x

+ 171x

− 27x + 1, x

− 14x

+ 78x

− 221x

+ 338x

− 273x

+ 106x

− 17x + 1, x

− 14x

+ 78x

− 222x

+ 345x

− 289x

+ 120x

− 21x + 1, x

− 15x

+ 90x

− 276x

+ 459x

− 405x

+ 171x

− 27x + 1, x

− 15x

+ 90x

− 277x

+ 467x

− 428x

+ 200x

− 42x + 3, x

− 15x

+ 91x

− 286x

+ 495x

− 462x

+ 210x

− 36x + 1, x

− 15x

+ 90x

− 276x

+ 458x

− 400x

+ 165x

− 27x + 1,

x

− 17x

+ 120x

− 456x

+ 1012x

− 1333x

+ 1016x

− 421x

+ 86x − 7, x

− 17x

+ 120x

− 456x

+ 1012x

− 1332x

+ 1010x

− 409x

+ 77x − 5, x

− 17x

+ 119x

− 444x

+ 956x

− 1205x

+ 867x

− 335x

+ 61x − 4, x

− 17x

+ 120x

− 456x

+ 1011x

− 1324x

+ 986x

− 376x

+ 57x − 1, x

− 17x

+ 120x

− 455x

+ 1001x

− 1287x

+ 924x

− 330x

+ 45x − 1, x

− 16x

+ 104x

− 354x

+ 680x

− 745x

+ 454x

− 145x

+ 21x − 1,

x

− 18x

+ 135x

− 549x

+ 1320x

− 1920x

+ 1662x

− 813x

+ 206x

− 24x + 1, x

− 18x

+ 136x

− 562x

+ 1388x

− 2104x

+ 1937x

− 1036x

+ 294x

− 36x + 1, x

− 18x

+ 136x

− 561x

+ 1377x

− 2058x

+ 1844x

− 941x

+ 248x

− 28x + 1, x

− 18x

+ 136x

− 561x

+ 1376x

− 2049x

+ 1815x

− 899x

+ 220x

− 21x + 1, x

− 18x

+ 136x

− 562x

+ 1387x

− 2096x

+ 1913x

− 1002x

+ 271x

− 30x + 1,

x

− 20x

+ 171x

− 818x

+ 2405x

− 4492x

+ 5318x

− 3861x

+ 1604x

− 340x

+ 32x − 1, x

− 21x

+ 190x

− 971x

+ 3088x

− 6348x

+ 8490x

− 7259x

+ 3803x

− 1131x

+ 166x − 9, x

− 21x

+ 189x

− 953x

+ 2954x

− 5812x

+ 7238x

− 5523x

+ 2415x

− 538x

+ 48x − 1, x

− 20x

+ 172x

− 832x

+ 2485x

− 4733x

+ 5730x

− 4261x

+ 1812x

− 390x

+ 36x − 1, x

− 22x

+ 208x

− 1106x

+ 3635x

−7643x

+ 10286x

−8609x

+ 4194x

− 1040x

+ 96x −2, x

− 22x

+ 210x

− 1142x

+ 3906x

− 8752x

+ 12972x

− 12540x

+ 7601x

− 2686x

+ 491x

− 39x + 1,

x

− 22x

+ 209x

− 1124x

+ 3772x

− 8218x

+ 11740x

− 10879x

+ 6347x

− 2212x

+ 421x

− 37x + 1,

x

− 22x

+ 209x

− 1124x

+ 3772x

− 8218x

+ 11740x

− 10879x

+ 6346x

− 2208x

+ 417x

− 36x + 1,

x

− 22x

+ 210x

− 1142x

+ 3905x

− 8741x

+ 12925x

− 12441x

+ 7494x

− 2631x

+ 481x

− 39x + 1,

x

− 22x

+ 210x

− 1142x

+ 3906x

− 8753x

+ 12983x

− 12586x

+ 7694x

− 2780x

+ 534x

− 45x + 1,

x

− 22x

+ 209x

− 1124x

+ 3771x

− 8205x

+ 11674x

− 10713x

+ 6130x

− 2070x

+