E677. Une issue certaine
Deux entiers positifs distincts 𝑎 et 𝑏 sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction 𝑎𝑏 |𝑎 ‒ 𝑏|⁄ où |. | désigne la valeur absolue. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier 𝑐.
Application numérique : 𝑎 = 2016 et 𝑏 = 2044. Déterminer 𝑐 et le nombre de tours correspondant.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Définissons les suites (𝑎𝑛), (𝑏𝑛), (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) par :
𝑎0= 𝑎 𝑏0= 𝑏
𝑎𝑛+1= 𝑚𝑎𝑥 (𝑎𝑛, 𝑏𝑛) 𝑏𝑛+1= 𝑎𝑛𝑏𝑛
|𝑎𝑛 ‒ 𝑏𝑛|
𝑢𝑛=𝑎𝑏
𝑎𝑛 𝑣𝑛=𝑎𝑏 𝑏𝑛 Les suites (u𝑛) et (𝑣𝑛) vérifient :
𝑢0=𝑎𝑏
𝑎0 = 𝑏 𝑣0=𝑎𝑏 𝑏0 = 𝑎
𝑢𝑛+1= 𝑎𝑏 𝑎𝑛+1
= 𝑎𝑏
𝑚𝑎𝑥(𝑎𝑛, 𝑏𝑛)= 𝑎𝑏 𝑚𝑎𝑥 (𝑎𝑏
𝑢𝑛,𝑎𝑏 𝑣𝑛)
= 𝑚𝑖𝑛(𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑣𝑛+1= 𝑎𝑏
𝑏𝑛+1=𝑎𝑏|𝑎𝑛 ‒ 𝑏𝑛| 𝑎𝑛𝑏𝑛 =
𝑎𝑏 |𝑎𝑏 𝑢𝑛 ‒ 𝑎𝑏
𝑣𝑛| 𝑎𝑏 𝑢𝑛
𝑎𝑏 𝑣𝑛
= 𝑢𝑛𝑣𝑛|1 𝑢𝑛 ‒ 1
𝑣𝑛| = |𝑣𝑛− 𝑢𝑛|
On reconnait une formulation possible de l’algorithme d’Euclide. Les suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) atteignent une même valeur à certain un rang 𝑁, et on a alors 𝑢𝑁= 𝑣𝑁 = 𝑑 = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑢0, 𝑣0) = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏). Esquissons-en la preuve.
Supposons par l’absurde que pout tout 𝑛, on ait 𝑢𝑛≠ 𝑣𝑛. La suite 𝑚𝑛= max(𝑢𝑛, 𝑣𝑛) est alors strictement décroissante et de termes entiers tous strictement positifs. C’est une contradiction.
Il existe donc un rang 𝑁 pour lequel 𝑢𝑁= 𝑣𝑁= 𝑑.
On calcule pgcd(𝑢𝑛+1, 𝑣𝑛+1) = {ou pgcd(𝑢𝑛, 𝑣𝑛− 𝑢𝑛)
pgcd(𝑣𝑛, 𝑢𝑛− 𝑣𝑛)= pgcd(𝑢𝑛, 𝑣𝑛).
Ce qui implique par récurrence que 𝑑 = 𝑢𝑁= 𝑣𝑁= pgcd(𝑢𝑁, 𝑣𝑁) = pgcd(𝑢0, 𝑣0) = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏).
On en déduit finalement que les suites (𝑎𝑛) et (𝑏𝑛) atteignent une même valeur au rang 𝑁, et qu’ alors 𝑎𝑁= 𝑏𝑁= 𝑐 = 𝑎𝑏 𝑑⁄ = 𝑎𝑏 pgcd(𝑎, 𝑏)⁄ = ppcm(𝑎, 𝑏).
Application numérique : 𝑎0= 2016 𝑏0= 2044 𝑁 = 72 𝑎72= 𝑏72= 𝑐 = 147168
