Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour,on efface le plus petit
des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a ‒ b) où abs(.) désigne la valeur absolue de la
différence a ‒ b. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le
tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à
un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Supposons a>b, avec la division euclidienne a=bq+r, ou encore a/b=q+r/b , avec q≥1, et 0≤r<b.
Si u=ab/(a-b) est le nombre obtenu pour remplacer b, a/u=(a-b)/b=a/b-1, donc a/u=q-1+r/b
Si a/u>1, on remplace b par u et l’on recommence... Après k étapes, le rapport est égal à q-k+r/b
Si a/u<1, a/u=r/b, donc u/a=b/r...
Le processus est donc équivalent à celui de l’algorithme d’Euclide : lorsque b divise a, le reste r est nul, et le quotient, diminuant d’une unité à chaque étape, finit par être égal à 1. Il y aura autant de tours que la somme des quotients obtenus, moins un.
Par exemple, 2044=1*2016+28, 2016=72*28, on obtiendra deux termes égaux à 2044*2016/(2044-2016)=147168 en 72 étapes
E677 - Une issue certaine
