E 677. Une issue certaine. ***
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction . Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Thérèse Eveilleau
Identité de Bezout :
soient a et b deux entiers relatifs et d leur PGCD alors il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = d.
A chaque étape, le calcul proposé nous mène vers deux nombres s’écrivant toujours sous la forme ab / (ya + zb) avec y et z entiers relatifs.
Le calcul est d’une certaine façon sur le principe de l’algorithme d’Euclide utilisé pour déterminer les coefficients de Bezout.
(Tout diviseur commun à deux nombres divise leur différence).
Nous finissons par trouver deux entiers relatifs donnant l’identité de Bezout : a·u + b·v = d.
Et le quotient de ab par d (le pgcd de a et b ) donne le plus petit commun multiple des deux nombres a et b avec ppcm (a,b) = ab / pgcd(a,b).
Avec les nombres 2016 et 2044, nous arrivons en 72 étapes au résultat c = 147 168.
72 est d’ailleurs le nombre de diviseurs de 147 168.
Ici notons que
147168 = 2⁵ * 3² * 7 * 73 a 72 diviseurs.
