E 677. Une issue certaine. ***
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction
. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Simon Pellicer
Considérons un entier c. Si l'on applique l'algorithme dans le sens inverse à partir d'un entier c , on obtient successivement. (c/1,c/2,c/3 .... ) ****
Par exemple si l'on part de c = 5, on aura : 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5.
Or parmi ces nombres seuls 5/1 et 5/5 sont des entiers. Ainsi les couples (1;5), (5;5) sont égaux après un nombre fini de tours à l'entier c = 5.
D'ou si les deux entiers a et b sont tels que a/b (a divise b) alors ces deux entiers après un certain nombre de tours vaudront un entier c = a.
Considérons donc le cas ou a n'est pas divisible par b. Dans ce cas notons a = b*q + r. L'entier b va prendre la valeur (ab/(a ‒ t*b)) au t-ième tour jusqu'a ce que b > a. Dans ce cas précis on aura b' = (ab/r), Notons maintenant b = r*q'+r'', l'entier a va prendre la valeur a ' = (ab/(b ‒ t*r)) au t-ième tour jusqu'à ce que (ab/(b- t*r)) > b' soit lorsque a' = (ab/r''). Et ainsi de suite, cela n'est autre que l'algorithme d'Euclide qui est appliqué, jusqu'à ce que l'on trouve le pgcd de a et b. Ainsi si a et b sont premiers entre eux, l'entier c vaudra ab car on aura r = 1 à la fin de l'algorithme d'Euclide. Lorsque ce pgcd est trouvé on aura finalement deux nombres, c = (ab/(pgcd(a;b)) et y = (ab/(l'avant dernier reste de l'algorithme d'Euclide sans compter le reste qui vaut 0)) donc puisqu'on a vu que pour un entier c les couples de la forme (c/s;c) avec s un entier < c après un certain de nombre de tours valent c.
Cela revient à dire que tout couple d'entier (a;b) après un certain nombre de tours est égal à un entier c.
Application numérique:
Pour a = 2016 et b = 2044, le pgcd(a;b) = 28 donc on aura c = (2016*2044)/28 = 147168.
Nombre de tours : 72
**** On cherche a tel que ((a*c)/(c-a))= c soit 2*a*c = c*c ou encore a = c/2, on applique le même processus avec le nouvel entier a = c/2 et on obtient c/3 puis c/4 ...