Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :

(1)

Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :

P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 n + 17 et sont tous premiers.

P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.

Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.

Montrons que 30 est le plus grand entier vérifiant P2.

Tout d’abord il nous allons utiliser le résultat suivant : Résultat 1 :

Soit (Un) la suite des nombres premiers en ordre croissant (U1 = 2, U2 = 3, … et Un est le n-ième nombre premier).

𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑈_𝑛 > 7 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑛 > 4 ∶ 𝑈_𝑖

𝑛−1 𝑖=1

> (𝑈_𝑛)²

Autrement dit, si p est un nombre premier supérieur à 4 alors le produit des nombres premiers inférieurs à p est supérieur à p²

Démonstration par récurrence :

−𝑈₅² = 11² = 121 𝑒𝑡 𝑈₁∗ 𝑈₂∗ 𝑈₃∗ 𝑈₄= 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 = 210

−𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑛 > 4 ∶ 𝑈_𝑖

𝑛−1 𝑖=1

> (𝑈_𝑛)² 𝑒𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑈_𝑖

𝑛 𝑖=1

> (𝑈_𝑛+1)² Bertrand a démontré que pour tout n>1 il existe un nombre premier p tel que n<p<2n.

Donc il y a un nombre premier p tel que 𝑈_𝑛 < 𝑝 < 2 ∗ 𝑈_𝑛 donc 𝑈_𝑛+1< 2 ∗ 𝑈_𝑛. 𝐷^′𝑜ù ∶ 𝑈_𝑛+1 ²< 4 ∗ (𝑈_𝑛)² < 4 ∗ 𝑈_𝑖

𝑛−1

𝑖=1

𝑀𝑎𝑖𝑠 𝑈_𝑛 > 4 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑈_𝑖

𝑛 𝑖=1

> 4 ∗ 𝑈_𝑖

𝑛−1 𝑖=1

> 𝑈_𝑛+1 ² D’où le résultat 1 par récurrence.

Supposons n>25 vérifiant P2 :

Alors n est un multiple de 2,3 et 5 ; car sinon 4,9 ou 25 (qui ne sont pas des nombres premiers) seraient premier avec n et inférieur à n.

Donc n est un multiple de 2*3*5=30.

On note p le plus petit entier premier avec n.

Un tel p existe car l’ensemble des entiers plus petit que n, premiers avec n est toujours non vide quelque soit n>2 ; car n-1 et n sont toujours premier entre eux ; n – (n-1) = 1 (Identité de Bézout)

Comme n vérifie P2 on sait que p est un nombre premier. Comme n est un multiple de 2,3 et 5 alors forcément p>5.

(2)

Comme p est le plus petit entier premier avec n, tous les nombres premiers inférieurs à p ne sont pas premiers avec n. Donc leur produit (qu’on notera π) divise n (donc nécessairement π<n).

Exemple : si p=13 alors 2, 3, 5, 7 et 11 ne sont pas premiers avec n donc 2*3*5*7*11 divise n.

Or si p>7 le résultat 1 nous dit que p²< π<n. Mais p² ne peut pas être un nombre premier.

Donc si p>7, n ne vérifie pas P2.

On a vu que p>5 ; donc p=7.

 Donc n est premier avec 7.

Si n >49 alors 49 (qui n’est pas premier) sera premier avec n (car n premier avec 7) et n>49.

Donc si n>49, il ne peut pas vérifier P2.

 D’où n<49

Or on à vu que si n>25 vérifie P2 alors n est un multiple de 30. Mais le seul multiple de 30 compris entre 25 et 49 est 30

 Donc il n’existe pas de n>30 vérifiant P2 Vérifions que 30 vérifie P2.

Les entier premiers avec 30 et plus petits que 30 sont :

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 qui sont bien tous des nombres premiers.

Donc 30 est bien le plus grand entier vérifiant P2

Montrons que 30 est le seul entier entre 17 et 2012 qui vérifie P1 Soit n vérifiant P1

n est paire car sinon n+1 n’est pas premier.

n est un multiple de 3 car :

-si n = 1(modulo 3) alors n+11 = 0(modulo 3), donc n+11 multiple de 3.

n est un multiple de 5 car :

-si n = 1(modulo 5) alors n-1 = 0(modulo 5), donc n-1 multiple de 5.

-si n = 2(modulo 5) alors n-7 = 0(modulo 5), donc n-7 multiple de 5.

 Donc n est un multiple de 2*3*5=30

n ne peut être multiple ni de 7 ni de 11 ni de 17. Car sinon n+7, n+11 ou n+17 ne seraient pas premier.

 Donc n=30*k où k est premier avec 7, 11 et 17.

On sélectionne tous les 17<n<2012 de cette forme : J’ai mis en jaune les multiples de 7 supérieurs à 7 en orange les multiples de 11 supérieurs à 11 en rouge ceux de 13 supérieurs à 13

en vert ceux de 17 supérieurs à 17 en bleu ceux de 19 supérieurs à 19

(3)

k n n – 17 n – 11 n – 7 n – 1 n + 1 n + 7 n + 11 n +17

1 30 13 19 23 29 31 37 41 47

2 60 43 49 53 59 61 67 71 77

3 90 73 79 83 89 91 97 101 107

4 120 103 109 113 119 121 127 131 137 5 150 133 139 143 149 151 157 161 167 6 180 163 169 173 179 181 187 191 197 8 240 223 229 233 239 241 247 251 257 9 270 253 259 263 269 271 277 281 287 10 300 283 289 293 299 301 307 311 317 13 390 373 379 383 389 391 397 401 407 15 450 433 439 443 449 451 457 461 467 16 480 463 469 473 479 481 487 491 497 18 540 523 529 533 539 541 547 551 557 19 570 553 559 563 569 571 577 581 587 20 600 583 589 593 599 601 607 611 617 23 690 673 679 683 689 691 697 701 707 24 720 703 709 713 719 721 727 731 737 25 750 733 739 743 749 751 757 761 767 26 780 763 769 773 779 781 787 791 797 27 810 793 799 803 809 811 817 821 827 29 870 853 859 863 869 871 877 881 887 30 900 883 889 893 899 901 907 911 917 31 930 913 919 923 929 931 937 941 947 32 960 943 949 953 959 961 967 971 977 36 1080 1063 1069 1073 1079 1081 1087 1091 1097 37 1110 1093 1099 1103 1109 1111 1117 1121 1127 38 1140 1123 1129 1133 1139 1141 1147 1151 1157 39 1170 1153 1159 1163 1169 1171 1177 1181 1187 40 1200 1183 1189 1193 1199 1201 1207 1211 1217 41 1230 1213 1219 1223 1229 1231 1237 1241 1247 43 1290 1273 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1307 45 1350 1333 1339 1343 1349 1351 1357 1361 1367 46 1380 1363 1369 1373 1379 1381 1387 1391 1397 47 1410 1393 1399 1403 1409 1411 1417 1421 1427 48 1440 1423 1429 1433 1439 1441 1447 1451 1457 50 1500 1483 1489 1493 1499 1501 1507 1511 1517 52 1560 1543 1549 1553 1559 1561 1567 1571 1577 53 1590 1573 1579 1583 1589 1591 1597 1601 1607 54 1620 1603 1609 1613 1619 1621 1627 1631 1637 57 1710 1693 1699 1703 1709 1711 1717 1721 1727 58 1740 1723 1729 1733 1739 1741 1747 1751 1757 59 1770 1753 1759 1763 1769 1771 1777 1781 1787 60 1800 1783 1789 1793 1799 1801 1807 1811 1817 61 1830 1813 1819 1823 1829 1831 1837 1841 1847 62 1860 1843 1849 1853 1859 1861 1867 1871 1877 64 1920 1903 1909 1913 1919 1921 1927 1931 1937 65 1950 1933 1939 1943 1949 1951 1957 1961 1967 67 2010 1993 1999 2003 2009 2011 2017 2021 2027

(4)

On voit qu’il y a toujours parmi n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 un nombre non premier ; sauf pour n=30.

13,19,23,29,31,37,41,47 sont des nombres premiers.

Donc 30 est bien le seul entier, entre 17 et 2012, qui vérifie P1.