Enoncé A331 (Diophante) Primo-accointances
Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent :n−17, n−11, n−7, n−1, n+ 1, n+ 7, n+ 11 et n+ 17 sont tous premiers.
P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.
Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Propriété P1
Si un des entiers de l’énoncé est divisible par 3 ou 5, il y en a un autre et l’un des deux au moins est un nombre composé. De même si 7 divise n, n±11 ou n±17. Si 7 divisen±1, cet entier>7 et n’est pas premier. Si 11 est un des entiers, n= 18, 22 ou 28 etn+ 17 n’est pas premier.
Il faut donc que les 8 entiers de l’énoncé soient premiers avec 2310.
Parmi n−1, n, n+ 1 il y a un multiple de 3, qui doit êtren.
Le reste denmodulo 5 n’est ni±1, ni±2, carn±1 oun±7 serait multiple de 5 ; nest donc multiple de 5.
Le même raisonnement modulo 7 montre que 7 divise n±2 ; de même 11 divisen±2 ou n±3.
Combinant ces propriétés, le reste de nmodulo 2310 est l’un des nombres 30, 240, 1020, 1080, 1230, 1290, 2070, 2280.
30 donne les 8 nombres premiers 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47.
Les 6 autres candidats<2012 sont éliminés par :
240 + 7 = 13·19, 1020−17 = 17·59, 1080 + 1 = 23·47, 1230 + 11 = 17·73, 1290−17 = 19·67, 2070−1 = 19·109.
Le nombre à déterminer est donc 30.
Il y a 4 autres solutions <107 : 113160, 246930, 1652880, 9363510.
Propriété P2
SoitE l’ensemble des diviseurs premiers d’un nombreN ayant la propriété de l’énoncé. Soit q le plus petit nombre premier n’appartenant pas à E.
Alorsq2, non premier, est premier avecN et il faut donc N < q2.
SiE contient k éléments,N est au moins égal à leur produit, et donc au moins égal au produit des k plus petits nombres premiers. Le plus petit nombre premier non diviseur de N est l’un des k+ 1 plus petits, et son carré est majorant strict deN. On doit donc avoir
k
Y
1
pj ≤N < q2 ≤p2k+1
lespjétant les nombres premiers rangés par ordre croissant,p1 = 2,p2 = 3, . . . .
Cette condition entraînek≤3. En effet, pourk= 4, 2·3·5·7 = 210>112.
Ensuite, si k ≥ 4 est tel que Qk1pj > p2k+1, on a Qk+11 pj > p2k+2, car pk+1 > 4 et (théorème dit “postulat de Bertrand”) pk+2 < 2pk+1. Par récurrence aucunk≥4 ne peut remplir la condition.
Commek≤3, on a N < p24= 49 et N doit être multiple de 2, 3 et 5 pour ne pas être soumis à une limitation plus sévère (par exempleN <52 = 25 siN n’est pas multiple de 5).
N = 30 est le plus grand nombre avec la propriété que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.
Les autres sont 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24.
