E675 – Avec une grosse boite d’allumettes [* à **** à la main]
On dispose d’une grosse boite d’allumettes qui ont toutes la même dimension.
1) Trouver une figure géométrique plane dans laquelle toute allumette rencontre sans chevauchement trois autres allumettes en chacune de ses deux extrémités.[***]
2) Prouver qu’il existe une infinité de figures géométriques planes distinctes qui ont cette propriété.[*]
3) Trouver la figure qui utilise le plus petit nombre possible d’allumettes.[*****]
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Lemme : tous les triangles équilatéraux de dimensions 2,4,8,..,2 ,... et désignés par T(n) sont n tels qu’à l’exception de leurs sommets, on sait placer en leur intérieur et sur les côtés des allumettes qui respectent les conditions de l’énoncé. démonstration : on vérifie aisément que les triangles de Sierpinski ont les propriétés voulues.
A l’aide de trois triangles équilatéraux T(1),T(4) et T(4), on sait construire la figure (F) ci- après dans un quadrant XOY en pratant d’un triangle isocèle dont la base a pour longueur 1 et les deux côtés égaux de longueur 4 supportent les deux triangles T(4).
Une configuration équivalente avec le triangle T(1) et deux triangles T(2) ne convient pas car l’axe OY traverse le triangle T(1), ce qui interdit de compléter la figure (F) comme décrit ci- après.
On obtient la figure complète en prenant la figure symétrique de (F) par rapport à l’axe OX ce qui donne une figure (F’) puis la symétrique de la figure (F’) par rapport à OY, ce qui donne (F’’) qui contient 4 fois le motif de (F). Au total on a utilisé 4*(27 + 27 + 3 ) = 228 allumettes.
On peut aussi construire une configuration un peu plus complexe avec des triangles équilatéraux combinant les types T(1),T(2),T(4) et T(8).
A partir d’un point O, on trace pour commencer deux triangles de côté 2 (en bleu) et un triangle de côté 1 (en rouge).Puis on trace deux triangles de côté 2 (en vert) qui s’appuient en A et B sur le triangle rouge et l’un des deux triangles bleus. D’où le point C et les triangles équilatéraux ACD et BCE. On trace la droite DE puis le cercle de centre O et de rayon 8 qui coupe cette droite en F. Enfin on trace le triangle équilatéral OFG et la perpendiculaire GH menée de G sur la droite DE. Soit (F) ainsi obtenue dans le quadrant EHG.
Pour obtenir la figure complète,il suffit comme précédemment de considérer la figure
symétrique de (F) par rapport à DE puis la symétrique de la nouvelle figure ainsi obtenue par rapport à la droite GH.On vérifie bien qu’aux points D,E,F,G il y a bien quatre allumettes qui se rencontrent
Q₂
Il existe bien une infinité de configurations car on peut étendre ad libitum la taille des triangles de la première configuration avec les deux grands triangles qui restent dans le rapport de 1 à 4 avec le petit triangle.
On peut obtenir des configurations homothétiques à la deuxième configuration, en multipliant les côtés des triangles par une puissance de 2 quelconque. On peut aussi aménager et prolonger le chapelet de triangles comme dans la figure ci-après.
Q₃
Le graphe de H. Harborth est la configuration qui minimise à ce jour le nombre d’allumettes utilisées mais il n’est pas encore prouvé qu’elle est optimale. Elle est construite selon le même principe de quatre figures identiques, chacune étant inscrite dans un quadrant.Elle comporte 4
* 26 = 104 allumettes.
Pour plus de détails sur le mode de construction de cette configuration, on se reportera utilement à l’article Minimal Polynomials for the coordinates of the Harborth Graph rédigé par Eberhard H.& A. Gerbracht.
