A331 : Primo-accointances. Énoncé :

A331 : Primo-accointances.

Énoncé : Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :

P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.

P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.

Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.

Soit n vérifiant P1,

Comme n-1 est premier et n−12 , n est logiquement pair.

Comme n-1 est n+1 sont premiers et n−13 , alors 3 divise n.

Comme n-7, n-1, n+1 et n+7 sont premiers et n−75 , alors 5 divise n.

Donc, 2, 3 et 5 étant premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que 30 divise n et donc de plus n30 .

De plus, comme n-11, n+1, n+7, n-1 et n+11 sont premiers et n−117 , alors n≡2ou−2[7] .

n est donc de la forme 210k+30 ou 210k-30,

il nous reste alors 19 éléments inférieurs à 2012 pouvant convenir.

La même étude sur les congruences modulo 11 et 13 donne que n est congru à 2, 3, 8 ou 9 modulo 11 et à 0, 3, 5, 8 ou 10 modulo 13. La liste se réduit donc :

Remarque : On ne vérifie pas 30 pour les congruences modulo 13 car il est trop petit (30- 17=13)

Il reste à noter que 1290−17=19×67 et 123011=17×73 . Donc, seul reste 30 et comme 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47 sont premiers,

Alors n=30.

Propriété : Pour tout k4 , p_k♯p_k1² (Démo à la fin)

Soit n vérifiant P2,

On note P l'ensemble des nombres premiers, pk le k^e nombre premier, # l'opération primorielle et E={k∈ℕ;∀ak ,PGCDk , a=1⇒a∈P} dont n est le plus grand élément.

On note que 30∈E , donc n30 ,

Comme n304 et 4 n'est pas premier, alors PGCD(n,4)≠1, donc 2 divise n.

De même, comme n309 et 9 n'est pas premier, alors 3 divise n.

Et comme n3025 et 25 n'est pas premier, alors 5 divise n.

Donc 30 divise n.

On suppose que n≠30, donc n60 , On pose, pour tout k∈ℕ , Hk : " np_k♯ "

comme n60 , alors n49 , donc 7 divise n, or 30 divise n et 7 est premier avec 30,

donc 210 divise n, donc n7♯ , donc H1, H2, H3 et H4 est vraie, Soit k∈ℕ tel que Hk soit vraie,

comme np_k♯p_k1² et pk+1² n'est pas premier, alors pk+1 divise n, or pk# et pk+1 sont premiers entre eux,

donc p_k1×p_k♯ divise n, donc ^npk1♯ , donc Hk+1 est vraie

Finalement, le principe de récurrence assure que pour tout k∈ℕ , np_k♯ , ce qui est absurde puisque lim_k∞ p_k♯=∞ .

Donc n=30.

Démo (Propriété) : Notons θ=23

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On note que pour tout x réel supérieur à 12, x3⋅x^θ et 3⋅x

2

2131x

−5 14

Donc pour tout x12 , 1x−3⋅x^θ3⋅x

2 21−x

−5 14

Donc pour tout ^x12 , x²x³−3⋅x^2θ3⋅x^12θ−x^3θ Soit alors pn le n^e nombre premier,

On utilise le fait qu'il existe un nombre premier entre tout nombre de la forme n-n^θ et n, en particulier, il existe un nombre premier entre pn+1-pn+1θ et pn+1,

entre autre pn se situe entre ces deux nombres, donc p_np_n1−p_n1^θ ,

donc, si ^pn11 , alors p_n³p_n1−p_n1^θ³p_n1² ,

on a ainsi, en vérifiant pour 3, 5 et 7, que pour tout n2 , p_n³p_n1² Comme 7♯11² , une récurrence simple assure alors le résultat.