MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit ABC un triangle de centre de gravité G. Montrer en utilisant les propriétés du déterminant que les trianglesABG, BCGet CAGont la même aire.
Corrigé
Exprimons les aires à l'aide de déterminants et utilisons
−→AG+−−→ BG+−−→
CG=−→ 0
ainsi que les propriétés du déterminant (bilinéaire et antisymétrique) : A(ABG) =1
2|det(−−→ AB,−→
AG)|=1
2|det(−→
AG+−−→ GB,−→
AG)|=1
2|det(−−→ GB,−→
AG)|
= 1
2|det(−−→ CG,−→
AG+−−→ GC)|= 1
2|det(−−→ CG,−→
AC)|=A(CAG)
=1
2|det(−−→ GB,−→
AG)|= 1
2|det(−−→ GB,−−→
GB+−−→ GC)|
= 1
2|det(−−→ GB,−−→
GC)|= 1
2|det(−−→ GB,−−→
BG+−−→ GC)|= 1
2|det(−−→ BG,−−→
BC|=A(BCG)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Ageom5
