Sorbonne 1M002: Suites, Intégrales, Algèbre linéaire 2018/2019
Université 11 février 2019
Contrôle continu I
Durée: 1h. Sur 20 points.
Aucun document n’est autorisé.
L’utilisation d’appareils électroniques et de téléphones est strictement interdite.
On portera une attention toute particulière à la rigueur de la rédaction. Un barème indicatif est donné en début de chaque exercice. Chaque exercice peut-être traité séparément, l’ordre n’ayant pas d’importance. Les questions BONUS sont à traiter en dernier.
La note finale est sur 15. Toute copie ayant plus de 15 points sur les 20 points sera automa- tiquement ramenée à la note maximale de 15/15. En gros: faites ce qui vous rapporte le plus de points.
Exercice I: Question de cours (3 pts)
Soit f une fonction réelle, de domaine de définitionDf. On considère la suite (un)n∈N définie comme suit:
( u0 ∈ Df
un+1=f(un) ∀n∈N∗ 1) SoitI ⊂ Df. Que veut dire "I est un intervalle stable parf"?
2) SoitI un tel intervalle etu0∈I. Que peut-on dire sur la suite (un)?
3) SupposonsI stable par f etu0 ∈I.
Démontrer le résultat suivant: Sif(x)≥x, ∀x∈I alors (un)n∈N est croissante.
Sif(x)≤x, ∀x∈I, alors (un)n∈N est décroissante.
Exercice II: Un peu de logique (3 pt)
1) Une application f de E dans F est dite surjective si tout élément de F est l’image par f d’au moins un élément de E.
1)a. Ecrire mathématiquement quef est surjective.
1)b. Donner la négation de cette proposition.
2) SoientA etB deux ensembles.
2)a. SiA⊂B, que dire de ¯B par rapport à ¯A?
2)b. BONUSSimplifier (A∩B)∪(A∩B).¯ Exercice III: Un peu de calcul (4 pt) 1) Calculer la limite deun=√
n+ 1−√ n 2) Soitθ∈R\πZ. Calculer Sθ=
n
P
k=−n
e2ikθ
1
Ecercice IV: Suites (10 pt) Soit (un)n∈N définie par:
( u0 >0, u1 >0
un+1= ln(1 +un) + ln(1 +un−1) ∀n≥1
1) Supposons que la suite (un)n∈N converge vers un réel l. Quelle équation doit être vérifiée parl ?
2)a. Etudier les variations dansR+ de f : x7→2 ln(1 +x)−x.
2)b. Identifier les points fixes dansR+ de g : x7→2 ln(1 +x).
3) On souhaite montrer que (un)n∈N converge vers l >0 un des points fixes deg.
Soit alors m >0 tel que m < u0,m < u1 etm < l.
Soit M ∈Rtel queM > u0,M > u1 etM > l.
On considère les suites (vn)n∈N et (wn)n∈N telles que:
( v0 =v1 =m
vn+1 = ln(1 +vn) + ln(1 +vn−1) ∀n≥1 et
( w0=w1 =M
wn+1 = ln(1 +wn) + ln(1 +wn−1) ∀n≥1 Montrer que vn≤un≤wn ∀n∈N.
4) Montrer par récurrence que∀n∈N, vn−vn−1≥0.
Aide 1: Penser au signe def sur les intervalles [0, l[ et ]l,+∞[.
Aide 2: On pourra montrer quevn−vn−1 = ln(1 +vn−1)−ln(1 +vn−3).
De manière analogue, on peut montrer quewn−wn−1 ≤0.
5) En conclure que (vn)n∈Net (wn)n∈Nsont convergentes, et déterminer leurs limites.
6) La suite (un)n∈N est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite?
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