MPSI B 24 avril 2020
Énoncé
Soitul'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
1 4 6
1 1 3
−1 −2 −4
.
1. Former une base du noyau et de l'image. Former une équation de l'image. L'image et le noyau sont-ils supplémentaires ?
2. Que vautu◦u?
3. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice deuest :
−1 0 0 0 −1 0
0 0 0
.
Corrigé
1. On forme un système pour chercher le noyau (x, y, z)∈keru⇔
x+ 4y+ 6z = 0 x+y+ 3z = 0
−x−2y−4z = 0
⇔
x+ 4y+ 6z = 0
−y−z = 0 3y+ 3z = 0
⇔
x y z
=z
−2
−1 1
.
On en déduit quedim ker(u) = 1de base((−2,−1,1))et quedim Im(u) = 2.
Les deux premières colonnes de la matrice sont formées par les coordonnées des images des deux premiers vecteurs de base. Clairement elles ne sont pas colinéaires et forment donc une base de l'image puisque cette image est de dimension 2. Une base deIm(u) est donc
((1,1,−1),(4,1,−2)).
Un vecteur(x, y, z)∈R3est dans l'image deulorsqu'il existe(a, b, c)∈R3 tel que (x, y, z) =u((a, b, c)).
Ceci se traduit par le fait que le système d'équations
a+ 4b+ 6c =x a+b+ 3c =y
−a−2b−4c =z0
aux inconnues a, b, c admette une solution. On transforme ce système en systèmes équivalents par les opérations élémentaires de la méthode du pivot :
a+b+ 3c = y 3b+ 3c = x−y
−b−c = z+y
⇔
a+b+ 3c = y
−b−c = z+y 0 = x−y+ 3(z+y)
.
La dernière relation donne une condition assurant que le système admet une solution.
L'équation de l'image est donc :
x+ 2y+ 3z= 0.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Aalglin10
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Pour montrer que l'image et le noyau de u sont supplémentaires, on montre que la famille(a1, a2, a3)constituée en agglomérant les bases (trouvées plus haut) du noyau et de l'image est libre. Siαa1+βa2+γa3= 0alors :
−2α+β+ 4γ = 0
−α+β+γ = 0 α−β−2γ = 0
⇔
α−β−2γ = 0 (L3)
−β = 0 (L1+ 2L3)
−γ = 0 (L2+L3) .
Ce qui entraine queα=β =γ= 0. La famille est donc libre, le noyau et l'image sont supplémentaires.
2. Le calcul du carré de la matrice de l'énoncé donne l'opposée de cette matrice. On en déduit
u◦u=−u.
3. Posonsv=−u, la relationu◦u=−udonnev◦v=v doncv est un projecteur. Dans une base dont les deux premiers vecteurs forment une base deImvet le troisième une base dekerv, les matrice dev et deusont
1 0 0 0 1 0 0 0 0
,
−1 0 0 0 −1 0
0 0 0
.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai Aalglin10
