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Noyau et image des applications lin´eaires

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Noyau et image des applications lin´ eaires

D´edou

D´ecembre 2012

(2)

Noyau d’une application lin´ eaire : d´ efinition

D´efinition

Sif :E →F est une application lin´eaire, son noyau, not´e Kerf est l’ensemble des vecteurs deE que f annule :

Kerf :={v ∈E|f(v) = 0}.

Exemple

Le noyau de la projectionp := (x,y,z)7→(x,y,0) deR3 sur son plan horizontal est l’axe vertical d´efini par x=y= 0.

(3)

Nature du noyau d’une application lin´ eaire

Proposition

Le noyau d’une application lin´eaire deE dans F est un sous-espace vectoriel deE.

Et ¸ca se prouve... trop facile, c’est l’ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire homog`ene.

(4)

Noyau et syst` eme lin´ eaire homog` ene : exemple

Exemple

Le noyau def := (x,y,z)7→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) est l’ensemble des solutions du syst`eme

3x+ 5y+ 7z = 0 2x+ 4y+ 6z = 0.

Le mˆeme dans l’autre sens

L’ensemble des solutions du syst`eme 3x+ 5y+ 7z = 0

2x+ 4y+ 6z = 0 est le noyau de l’application lin´eaire

(x,y,z)7→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z).

(5)

Noyau d’une application lin´ eaire : exercice

Exo corrig´e

a) Exprimez le noyau def := (x,y,z,t)7→(3x+ 7z −t,2y+ 6z) comme ensemble de solutions.

b) Exprimez l’ensemble des solutions du syst`eme

3x+ 4t= 0 y−z −t = 0 2x+y+z−t= 0 comme noyau.

(6)

Base d’un noyau : exemple

Exo corrig´e

Trouver une base du noyau de

f := (x,y,z,t)7→(x+ 5y+ 7t,2x+ 4y+ 6z+t).

(7)

Base d’un noyau : exercice

Exo corrig´e

Trouver une base du noyau de

f := (x,y,z)7→(x−y+z,−x+y−z).

(8)

Dimension d’un noyau : exemple

Exo corrig´e

Trouver la dimension du noyau de

f := (x,y,z,t)7→(x+ 5y+ 7t,2x+ 4y+ 6z+t).

C’est plus facile que trouver une base : c’est la dimension de d´epart diminu´e du rang de la matrice.

(9)

Base d’un noyau : exercice

Exo corrig´e

Trouver la dimension du noyau de

f := (x,y,z,t)7→(x−y+z+t,−x+y−z+t,t).

(10)

Rappel : image d’une application

Rappel( ?)

L’image d’une applicationf :R2 →R3 (par exemple) c’est l’ensemble des images

Imf :={f(v)|v ∈R2} ou encore

Imf :={w ∈R3|∃v ∈R2,w =f(v)}.

(11)

Image d’une application lin´ eaire

D´efinition

Sif :E →F est une application lin´eaire, son image, not´eeImf, est donc l’ensemble des vecteurs deF de la formef(v) avec v ∈E :

Imf :={f(v)|v ∈E}.

Exemple

L’image de la projectionp:= (x,y,z)7→(x,y) deR3 sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d’´equationz = 0.

(12)

Nature de l’image d’une application lin´ eaire

Proposition

L’image d’une application lin´eaire de E dansF est un sous-espace vectoriel deF.

Et ¸ca se prouve... trop facile !

(13)

Image d’une application lin´ eaire et colonnes de sa matrice

Exemple

L’application lin´eairef := (x,y,z)7→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) s’´ecrit aussi

f := (x,y,z)7→x 3

2

+y 5

4

+z 7

6

.

Sous cet angle on voit ( ?) que les vecteurs de l’image def sont exactement les combinaisons lin´eaires du syst`eme de trois vecteurs ((3,2),(5,4),(7,6)) :

Im (x,y,z)7→

3x+ 5y+ 7z 2x+ 4y+ 6z

= <

3 2

, 5

4

, 7

6

> .

Moralit´e

L’image def est le sous-espace vectoriel engendr´e par les colonnes de sa matrice.

(14)

Image d’une application lin´ eaire : exemple

Exo corrig´e

Donnez des g´en´erateurs de l’image de (x,y)7→(3x+ 7y,2y,x−y).

(15)

Image d’une application lin´ eaire : exo

Exo corrig´e

Donnez des g´en´erateurs de l’image de (x,y,z)7→(3x+ 7y,2y+z,x−y,x+z).

(16)

Base de l’image d’une application lin´ eaire : exemple

Exo corrig´e

Donnez une base de l’image de

(x,y,z)7→(x+y+ 2z,y−z,x+ 3y).

On prend les g´en´erateurs comme on sait faire, et on enl`eve ceux qui sont en trop.

(17)

Base de l’image d’une application lin´ eaire : exo

Exo corrig´e

Donnez une base de l’image de

(x,y,z)7→(x+y,y−z,x+z,x+ 2y−z).

(18)

Equations de l’image d’une application lin´ eaire : exemple

Exo corrig´e

Donnez un syst`eme d’´equations pour l’image de (x,y)7→(x+y,y,2x−y,x+ 3y).

On sait trouver des g´en´erateurs, et `a partir des g´en´erateurs, on sait trouver des ´equations.

(19)

Equations de l’image d’une application lin´ eaire : exo

Exo corrig´e

Donnez un syst`eme d’´equations pour l’image de (x,y,z)7→(x+y+z,x−y+z,3y,2x+ 3y+ 2z).

(20)

Dimension de l’image d’une application lin´ eaire : exemple

Exo corrig´e

Calculer la dimension de l’image de

(x,y,z)7→(x+y+z,x−y+z,3y,2x+ 3y+ 2z).

C’est le rang du syst`eme des colonnes de la matrice, donc c’est le rang de la matrice.

(21)

Equations de l’image d’une application lin´ eaire : exo

Exo final

Calculer la dimension de l’image de

(x,y,z)7→(x+y+z,x−2y+z,x+ 2y+ 3z,2x+ 3y−z).

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