Enoncé E585 (Diophante) Devinez
Vous jouez avec moi. Je choisis, sans vous le dire, un nombre entier N que vous devez deviner en posant des questions de la forme : “N est-il égal à 10 ?” et je dois répondre ou bien “Oui, vous avez gagné” ou bien “Non, 10 est trop petit” ou bien “Non, 10 est trop grand” mais dans ce dernier cas, vous recevez une pénalité et votre essai est compté pour deux questions au lieu d’une. Vous avez droit à 6 essais et vous gagnez si au sixième essai au plus tard, je vous réponds “Oui, vous avez gagné”.
Déterminez la plus grande valeur de N que je peux choisir pour que vous soyez certain à 100% de trouver en 6 essais au maximum n’importe quel entier que j’aurais sélectionné entre 1 à N (inclus).
Quelle est votre stratégie ?
Pour les plus courageux : Combien d’essais au plus (le moins possible) vous faut-il pour trouver tout nombre de 1 à 1596 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit n(e) le nombre de possibilités qui me permet le gain en e essais au plus, à partir du point où j’en suis de la partie.
Si e = 1, il faut que j’aie déjà déduit le nombre inconnu des essais pré- cédents, donc n(1) = 1. Si e = 2, il faut que mon premier essai tombe juste ou me permette un 2e essai en n’entraînant pas de pénalité : donc n(2) = 2, en proposant la plus grande valeur des deux au 1er essai.
Avece >2 essais, je pourrai déterminer soit la première valeur testée, soit n(e−1) valeurs plus petites, soit n(e−2) valeurs plus grandes. Donc n(e) =n(e−1) + 1 +n(e−2), puis 1 +n(e) = (1 +n(e−1)) + (1 +n(e−2)).
D’où la suite 1 +n(1) = 2, 1 +n(2) = 3, 5, 8, 13, . . ., s’identifiant à la suite de Fibonacci F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, etc., ce qui donne 1 +n(e) =Fe+2.
Ainsin(6) =F8−1 = 20.
La stratégie, si je dispose de e essais, consiste à tester la valeur de rang 1 +n(e−1) =Fe+1 parmi les possibilités restantes.
Au premier essai, avec les entiers de 1 àFe+2−1 au plus comme possibilités pour le nombre inconnu, je proposerai l’entierFe+1.
Seconde question : 1596 =F17−1 =n(15) : quinze essais suffiront, quinze peuvent être nécessaires.
