En posant F(n)=u(n)+1, on reconnait une suite de Fibonnacci avec F(1)=2, F(2)=3 : donc u(n)=1, 2, 4, 7, 12, 20, ...

Problème proposé par Raymond Bloch

Vous jouez avec moi. Je choisis, sans vous le dire, un nombre entier N que vous devez devinez en posant des questions de la forme : « N est-il égal à 10 ? » et je dois répondre ou bien «  Oui, vous avez gagné » ou bien « Non, 10 est trop petit » ou bien « Non, 10 est trop grand » mais dans ce dernier cas, vous recevez une pénalité et votre essai est compté pour deux questions au lieu d’une.Vous avez droit à 6 essais et vous gagnez si au sixième essai au plus tard, je vous réponds

« Oui, vous avez gagné ».

Déterminez la plus grande valeur de N que je peux choisir pour que vous soyez certain à 100% de trouver en 6 essais au maximum n’importe quel entier que j’aurais sélectionné entre 1 à N (inclus).

Quelle est votre stratégie ?

Pour les plus courageux : Combien d'essais au plus (le moins possible) vous faut-il pour trouver tout nombre de 1 à 1596 ?

Si je dois choisir entre deux nombres consécutifs, j’aurai besoin de 2 essais pour trouver le bon (en commençant par le plus petit). Pour 3 ou 4 nombres, 3 essais peuvent être nécessaires, pour 5, 6 ou 7 nombres, 4 essais.

Plus généralement si le maximum de N pour n essais est u(n), on obtient la formule de récurrence u(n)=u(n-1)+u(n-2)+1, en choisissant le u(n-1)+1 -ième nombre au

premier essai.

En posant F(n)=u(n)+1, on reconnait une suite de Fibonnacci avec F(1)=2, F(2)=3 : donc u(n)=1, 2, 4, 7, 12, 20, ...

Avec 6 essais, la valeur maximale de N est donc 20.

Et il faudra 15 essais pour trouver tout nombre compris entre 1 et 1596 (F(15)=1597)

E585 - Devinez