Tout nombre pair peut s'écrire de manière unique sous la forme n = 2p .q avec q impair

A563 les Entiers Narcissiques

Un entier naturel n est dit « narcissique » si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n. Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre réponse.

Tous les impairs sont narcissiques : Σ k^2p+1 pour k de 1 à 2p+1 est égal à

(2p+1)^2p+1 +(1^2p+1+(2p)^2p+1) +(2^2p+1+(2p-1)^2p+1) + … +(p^2p+1+(p+1)^2p+1) où tous les termes de cette somme sont multiples de (2p+1).

2, 4, 6 ne sont pas narcissiques :

1²+2² = 5 , 1⁴+2⁴+3⁴+4⁴ ≡ 2 + 2⁴ ≡ 2 mod 4,

1⁶+2⁶+3⁶+4⁶ +5⁶+6⁶≡ 2(1⁶+2⁶)+ 3⁶ ≡ 2(1+4) + 3 ≡ 1 mod 6.

Tout nombre pair peut s'écrire de manière unique sous la forme n = 2^p .q avec q impair.

Pour cette valeur de n, soit Sn la somme des kⁿ pour k de 1 à n.

On va montrer que Sn est congru à 2^p-1 modulo 2^p , n'est pas divisible par 2^p , donc pas par n.

Parmi les n termes dont la somme est Sn , distinguons les termes pairs et les termes impairs : si k est pair, kⁿ est congru à 0 modulo 2^p , car 2^p .q >p ,

si k est impair, kⁿ est congru à 1 modulo 2^p , et même kⁿ est congru à 1 modulo 2^p+1, [cela se démontre par récurrence : (2a+1)² - 1 est multiple de 4, (2a+1)⁴ – 1 est multiple de 8, (2a+1)⁸ – 1 est multiple de 16, etc..

et sachant que (2a+1)^2^p ≡1 on a aussi (2a+1)^(2^p .q) ≡1 mod 2^p ]

Comme il y a n/2 termes impairs dans Sn , on a Sn ≡ n/2 , Sn ≡ 2^p-1 .q mod 2^p , et puisque q est impair, Sn ≡ 2^p-1 mod 2^p , on peut conclure : aucun nombre pair n'est narcissique.

L'ensemble des entiers narcissiques est l'ensemble des entiers impairs.