E 677. Une issue certaine. ***
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction
. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Michel Lafond
On notera systématiquement (a ; b) le couple à transformer avec [Il n’y a donc plus besoin de valeur absolue]
Notons T la transformation
[ou le couple symétrique si
Et notons
Remarquons que
On peut donc dans le processus se limiter au cas où sachant que, parvenu au but, il faudra multiplier la constante c par le PGCD.
1) Examinons d’abord le cas (a = 1 ; b).
Si b = 1 on est déjà au but (c ; c) et ceci en 0 étape.
Si b > 1 :
puisque
. Donc
.
En itérant, on obtient :
etc.
Et finalement
Ainsi, T transforme (a = 1 ; b) en (b ; b) en b – 1 étapes (1)
2) Examinons maintenant le cas (a ; b) avec On peut poser
Et, en itérant :
[Puisqu’on a convenu de mettre la plus petite coordonnée du couple en premier]
Ainsi, si alors, T transforme (a ; b) en .
Si alors T transformera (a ; b) en puis en d’après (1).
Si on continue :
On pose On arrivera à
Si alors T itérée transformera (a ; b) en puis en d’après (1).
Si on continue :
On pose On arrivera à
Si alors T itérée transformera (a ; b) en
puis en d’après (1).
L’itération consiste à poser successivement :
avec
On reconnaît l’algorithme d’Euclide du calcul du PGCD, et comme , cet algorithme se terminera lorsque atteindra la valeur 1.
Le couple résultant sera
D’après (1) il se transformera en
Dans tous les cas, (a ; b) deviendra (ab ; ab) au bout d’un nombre fini d’étapes.
3) Examinons le cas du couple (2016 ; 2044).
Le PGCD est 28, donc en une étape obtient :
On a vu dans 1) que .
Donc On obtient c = 147168 en 72 étapes.
