E141. Les suites du millésime
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ?
Nota : les deux questions sont indépendantes.
Q1:
On voit qu’il s’agit d’une suite obtenue par la somme des 2 précédents termes, auquel nous sommons à nouveau les 2 chiffres si le nombre obtenu est supérieur à 9.
Par exemple 5+8=13, et 1+3=4 donc le 7ème terme sera égal à 4.
Poursuivons donc la suite jusqu’à retomber sur les mêmes termes successifs : 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9,1,1,2,3,5,….
On voit donc que la suite se répète au 25ème terme (=1), donc le 100ème sera égal à 1, le 2000ème sera égal à 1 ainsi que le 2025ème.
Donc le 2021ème terme est égal à 2.
Q2 :
Une suite d’entiers consécutifs est une suite arithmétique de raison 1.
La somme d’une suite arithmétique est égale à 𝑆 = (𝑈0+𝑈𝑛)
2 . (𝑛 + 1), ainsi cela revient à déterminer U0, Un et n tels que S=2021, d’où 2.S=4042.
Si on décompose 4042 en facteurs premiers, nous avons : 4042= 2 x 43 x 47
On a Un=U0+n.1, nème terme d’une suite arithmétique de raison 1.
Ainsi (U0+n+U0).(n+1) =2 x 43 x 47.
On aura ainsi 3 solutions : n+1=2, n+1=43 et n+1=47.
Avec n+1= 2, soit n=1, nous obtenons (U0+1+U0).2= 2 x 43 x 47, d’où 2.U0+1=43x47=2021, par suite U0=1010.
Avec n+1= 43, nous avons (U0+42+U0).43 = 2 x 43 x 47, d’où 2.U0+42=94, ce qui donne U0=26.
Avec n+1=47, nous trouvons U0=20.
Nous avons donc 3 suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 :
• 2 termes : 1010 + 1011=2021
• 42 termes : 26+27+28+…+68=2021
• 46 termes : 20+21+22+. . . +66=2021.