E137. © RG
Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 >
25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux entiers positifs strictement inférieurs à 100 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.
© RG : Copyright Richard Guy Solution proposée par Jean Nicot
A partir d’une fraction a/b, on arrive au plus dés la troisième de la suite à un rapport de deux carrés et il est plus simple de raisonner sur les racines carrées des fractions. La suite S devient la suite s
On note Fn la nième fraction de s, avec Fn=Nn/Dn. La suivante est alors, avec les notations d’Excel, Fn+1 = Nn+1/Dn+1=ARRONDI.SUP(Nn²/Dn ;0) / Nn ou Nn+1/Dn+1= Nn/Dn + 1/(NnDn)
Q1 – 4/1 étant un carré, on peut obtenir les premiers termes de s
2/1 5/2 13/5 34/13 89/34 233/89 610/ 233 1597/610 4181/1597 La règle déterminant Nn+1/Dn+1 montre que la suite s est croissante, ainsi que S L’ecart entre deux termes consécutifs est Nn+1/Dn+1 - Nn/Dn = 1/( Dn+1 Dn) < 1/n² L’écart entre le premier terme et le dernier est inférieur à = π²/6
La suite s est croissante mais bornée, tout comme le suite S. Il existe donc une valeur limite On se rapproche rapidement de cette valeur, dès le vingtième terme 63245986/24157817 égal à 2,61803398874989 pour s, soit 6,85410196624968 pour S
Q2-
La suite 85² /79² a pour 30 et 31èmes termes 2020²/1787² et 2284² /2020²
