A376 − Les forts et les faibles [*** à la main]
Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est
strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. A l'inverse cet entier est dit "faible".
Par exemple, 4 est fort car il a trois diviseurs (1,2,4) et chacun des entiers 1,2,3 a au plus deux diviseurs.
15 est faible car il a 4 diviseurs (1,3,5,15) alors que 12 qui est inférieur à 15 en a 6 (1,2,3,4,6,12).
Q₁ Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible?
Q₂Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs
Q₃ Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.
Q₄ Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Q₅ Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Si un nombre est de la forme n = a1*e1 . a2*e2…ap*ep alors le nombre de diviseurs est égal à d(n)=
(1+e1).(1+e2)…(1+ep).
Pour un nombre de diviseurs donné d, chercher le plus petit entier ayant ce nombre de diviseurs revient à trouver la décomposition de d en produit de facteurs de puissance ei en valeur décroissante, permettant
d’affecter les facteurs premiers ai de valeur croissante , qui donne le nombre a1*e1 . a2*e2…ap*ep minimum.
Q1 : Pour d(n)=28, trois décompositions sont possibles , soit 28 soit 7 . 4 soit 7. 2 .2. Cette dernière donne le plus petit nombre ayant 28 diviseurs, soit 2*6 . 3 . 5 soit 960.
On trouve facilement que le plus petit nombre ayant 30 diviseurs est plus petit. En effet avec la décomposition de 30 en 5 . 3 .2 , on obtient le nombre 2*4 . 3*2 . 5 soit 720 comme nombre ayant 30 diviseurs. Donc 960 est faible.
Q2 Pour 112, on peut comparer les deux décompositions 7 . 2 . 2 . 2 .2 et 7 .4 . 2 . 2.
La première conduit au nombre 2*7 . 3 . 5. 7 . 11 , la deuxième 2*7 . 27. 5 . 7, qui lui est inférieur. Soit 60480.
Q3 Pour déterminer les nombres faibles on recherche pour des valeurs croissantes de d(n), les plus petits nombres ayant ce nombre de d(n) comme diviseurs.
On classe ensuite ces couples (d(n) et n) par ordre croissant de la valeur de n. Dans cette suite on élimine ensuite les couples pour lesquels la valeurs d(n) n’est pas en ordre croissant.
On obtient la liste suivante
d(n) n
1 1
2 2
3 4
4 6
6 12
8 24
9 36
10 48
12 60
16 120
18 180
20 240
24 420
30 720
32 840
36 1260
40 1680
48 2520
60 5040
……
La liste des valeurs de n sont la liste des nombres forts. Il y a donc 17 nombres forts <=2019, donc 2002 nombres faibles
Q4
Le nombre 83160 soit 2*3.3*3.5.7.11 soit 83160 6 semble être le candidat avec 128 diviseurs.
Q5
Les premières valeurs de n ! sont des nombres forts : 2, 6,24,120,720,5040 soit 2 ! a 7 ! Ce sont d'ailleurs les seules.
En effet 8 ! ne l'est déjà plus car 8 != 2*7. 3*2. 5. 7 soit 8.3.2.2 soit 96 diviseurs. Mais nous avons également 6.7 ! soit 2*5. 3*3 . 5. 7 avec 96 diviseurs.
Il en est de même de 9 != 2*7.3*4.5.7 a 160 diviseurs tandis que 9 !.11/12 ou 2*5.3*3.5.7.11 en a 192.
Pour toutes les valeurs de n supérieures à 10 on peut utiliser un nombre premier supérieur à n et un nombre m composé supérieur à p tel que n !.p/m nombre inférieur à n ! ait plus de diviseurs que n !. Pour 10 ! ,11/12 .10 !, pour 11 !, 13 /15.11 !... montrent que n ! n'est pas fort.
Quand n supérieur a 2*(k-2) et supérieur à 15, il suffit d'ailleurs de prendre un nombre premier p compris entre 2*(k -1) et 2*k (qui existe toujours) et comme diviseur m , 2*k., pour avoir un nombre p/2*k . n ! ) avec plus de diviseurs que n !. En effet dès que n est supérieur a 15, k sera toujours inférieur à la moitié de la puissance de 2 de n ! soit r.
On aura donc toujours 2.(1+r-k) supérieur à (1+r) et donc p/2*k . n ! aura plus de diviseurs que n !
