Diviseurs des nombres ellipséphiques

(1)

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Preprint submitted on 26 Apr 2007

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Diviseurs des nombres ellipséphiques

Sylvain Col

To cite this version:

Sylvain Col. Diviseurs des nombres ellipséphiques. 2006. �hal-00143713�

(2)

DIVISEURS DES NOMBRES ELLIPS´ EPHIQUES

SYLVAIN COL

Résumé. Les propriétés multiplicatives des nombres ellipséphiques peuvent être obtenue à l’aide des moments de la série génératrice de cette suite. Nous donnons des estimations précises pour les grands moments de deux méthodes distinctes : l’une combinatoire fournit un résultat précis dans le cas réputé le plus difficile des nombres n’utilisant que les 0 et les 1 ; la seconde purement analytique fournit un résultat sans condition sur les chiffres.

1. Enonc´ ´ e des r´ esultats

Soient r > 3 un entier et D un sous-ensemble strict de {0, . . . , r − 1} dont nous notons t := # D le cardinal. Nous supposons

2 6 t 6 r − 1 (1)

et nous posons

ρ := log t

log r ∈]0, 1[. (2)

Nous d´ esignons par W

_D

l’ensemble des nombres ellips´ ephiques : W

_D

:= nX

d

_j

r

^j

/ ∀j, d

_j

∈ D o

(3) o` u toutes les sommes sur j sont finies. Nous noterons aussi

W

_D

(x) := {n ∈ W

_D

, n < x}, (4)

W

_D

(x, a, q) := {n ∈ W

_D

, n < x, n ≡ a mod q}. (5) Diff´ erentes propri´ et´ es multiplicatives de ces entiers ont d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ ees par P. Erd˝ os, C. Mau- duit et A. S´ ark¨ ozy [4, 5], C. Dartyge et C. Mauduit [2, 3], S. Konyagin [7] et W. D. Banks et I. E. Shparlinkski [1]. En particulier, dans [2], C. Dartyge et C. Mauduit montrent que l’´ etude de certains probl` emes multiplicatifs se ram` ene ` a une majoration suffisamment fine de la norme L

¹

sur le cercle unit´ e de la fonction g´ en´ eratrice des entiers ellips´ ephiques. Nous notons comme eux

G

_D_,N

(z) := 1 t

^N

X

n∈W_D(r^N)

e(nz) = Y

06k<N

U

D

(r

^k

z), (6) o` u e(z) := e

^2iπz

, et

U

D

(z) := 1 t

X

d∈D

e(dz). (7)

Grˆ ace ` a [4, th´ eor` eme 4], nous savons que, si k est un entier assez grand, il existe beau- coup d’entiers ellips´ ephiques non divisibles par la puissance k d’un nombre premier v´ erifiant (p, r(r − 1)) = 1 :

Date: 26 mai 2006.

1

(3)

Th´ eor` eme A. Si k > 1/ρ, il existe une constante c > 0 (ne d´ ependant que de r et de k) telle que

#{n ∈ W

_D

(x) / (p, r(r − 1)) = 1 ⇒ p

^k

- n}

= #W

_D

(x) Y

p-r(r−1)

1 − p

^−k

1 + O exp n

− c

ρ −

¹_k

log

^1/2

x o . Un r´ esultat similaire avait d´ ej` a ´ et´ e montr´ e par M. Filaseta et S. Konyagin dans [6].

Inversement, en autorisant suffisamment de chiffres pour que ρ >

³₄

(en base dix, nous devons prendre au moins 6 chiffres), [4, Th´ eor` eme 5] montre ´ egalement l’existence d’entiers ellips´ ephiques poss´ edant un grand facteur carr´ e :

Th´ eor` eme B. Si k < 1/(2(1 − ρ)), alors il existe des entiers n dans W

_D

(r

^N

) divisibles par la puissance k d’un nombre premier p avec

p

k,r

N

^ρ/2

log N

_(2k−1)¹

. Pour tout r´ eel m > 1, nous d´ efinissons K

_m

par

K

_m

:= lim sup

N→∞

|G

_D_,N

|

^m

1 1

N

. (8)

Majorer les r´ eels K

_m

est fondamental pour de nombreux probl` emes concernant les entiers ellips´ ephiques. Par exemple, le Th´ eor` eme 1 de [2] fournit un analogue du th´ eor` eme de Bombieri- Vinogradov si nous pouvons trouver un m tel que K

_m

< r

⁻¹²

.

Dans un premier temps nous traitons le cas D = {0, 1} qui est r´ eput´ e le plus difficile, et peut-ˆ etre le plus int´ eressant. En effet, moins D comporte de chiffre, plus la famille W

_D

est rare.

Th´ eor` eme 1. Si D = {0, 1} et m = 2l est un entier pair, on a 1

r 6 K

_2l

6 1

r + 2

^−2l

2l

l

< 1 r + 1

√ πl . (9)

La d´ emonstration du Th´ eor` eme 1 est essentiellement combinatoire. Dans le cas g´ en´ eral, nous devrons mettre ` a profit un effet de p´ eriodicit´ e sur les fonctions G

_D_,N

d´ efinies par (6) pour majorer K

_m

:

Th´ eor` eme 2. Supposons que pgcd D = 1 et 0 ∈ D et qu’il existe une constante A > 0 telle que, pour tout x r´ eel, il existe d

₁

et d

₂

∈ D v´ erifiant

k(d

₁

− d

₂

)xk > Akxk. (10)

Alors, pour tout r´ eel m > 1, nous avons 1

r 6 K

_m

< 1 r +

√ π 2 √

2 √ t A √

m . (11)

Remarque 1. Si D = {0, 1}, la constante A := 1 est clairement admissible. La majoration (11) fournit K

_m

<

¹_r

+ p

_π

4m

. Le second terme de (9), r´ esultat d’une ´ etude approfondie du cas particulier D = {0, 1}, est donc plus pr´ ecis que celui de (11) d’un facteur

^√^π

8

.

Remarque 2. Les r´ esultats des Th´ eor` emes 1 et 2 sont int´ eressants lorsque m est tr` es grand : nous pouvons alors choisir K

_m

aussi proche de

¹_r

que l’on d´ esire.

Le Th´ eor` eme 2 n´ ecessite la d´ etermination d’une constante A ad´ equate. Le Lemme 1 de [4]

fournit la valeur admissible A :=

_2(r−1)¹ 2

. En reprenant la d´ emonstration de [4] et en proc´ edant

`

a quelques optimisations, nous am´ eliorons ce r´ esultat :

(4)

Th´ eor` eme 3. Soit D tel que pgcd D = 1. Notons δ (resp. ∆) le plus petit (resp. grand)

´

el´ ement strictement positif de D − D . Dans le Th´ eor` eme 2, nous pouvons choisir A := 2

δ + ∆ > 1

r − 1 . (12)

Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme 2 ( i.e. pgcd D = 1 et 0 ∈ D ), nous avons 1

r 6 K

_m

< 1 r + 1

8 r π(r + 1)

³

m . (13)

Dans [4, Probl` eme 2, p. 104] les auteurs demandent pour D = {0, 1} de trouver des nombres ellips´ ephiques divisibles par le carr´ e de grands nombres premiers : est-il vrai que si r > 3, il existe une constante c = c

_r

> 0 telle qu’une infinit´ e d’entiers n dont tous les chiffres sont 0 ou 1 en base r poss` edent au moins un facteur premier p v´ erifiant p > n

^c

et p

²

| n ?

M.Filaseta et S. Konyagin dans [6] ont r´ epondu positivement ` a cette question si r 6 5.

C. Dartyge et C. Mauduit dans [2] ont ´ etendu le domaine de validit´ e ` a r 6 8. S. Konyagin dans [7, corollaire 6] fournit une r´ eponse sans condition sur r, mais sa m´ ethode ne permet pas d’obtenir une estimation du nombre d’entiers ellips´ ephiques poss´ edant un facteur premier de ce type. Le Th´ eor` eme 4 ci-dessous r´ epond positivement ` a cette question pour tout r > 3 et l’´ etend ` a tout ensemble D contenant 0. En outre, le Th´ eor` eme 4 montre que la proportion de ces entiers est de l’ordre de grandeur attendu.

Th´ eor` eme 4. On suppose que 0 ∈ D , r > 3 et k > 2. Il existe une constante c = c

_k,r

> 0 telle que, uniform´ ement pour 2 6 y 6 x

^c

,

#

n ∈ W

_D

(x) / ∃p ∈ [y, 2y[, p

^k

| n > k 2

^k

#W

_D

(x) y

^k−1

log x

1 + O

_k

( 1 log y ) . Une valeur admissible de la constante c

_k,r

est donn´ ee par la formule

c

_k,r

= 32 π

(r

^1/2k

− 1)

²

k(r + 1)

⁵

. (14)

Si D = {0, 1} et k = 2, nous pouvons prendre c = π

8 r

⁻³²

1 − 2r

⁻¹⁴

. (15)

La d´ emonstration du Th´ eor` eme 4 repose de mani` ere cruciale sur la majoration (9) dans le cas D = {0, 1}, et sur la majoration (11) combin´ ee avec (12) dans le cas g´ en´ eral.

2. Moyenne de la fonction G

_D_,N

2.1. D´ efinition de la constante K

m

.

Dans toute la suite nous ´ etendons la d´ efinition de la fonction G

_D_,N

en posant pour tout r´ eel µ > 0, G

_D_,µ

= G

_D_,bµc

. Ce prolongement permet d’exprimer K

_m

de la mani` ere suivante

Lemme 1. On a

K

_m

= lim sup

µ→∞

|G

_D_,µ

|

^m

1 1

µ

. (16)

D´ emonstration. Nous ´ ecrivons pour µ > 1, |G

_D,µ

|

^m

1 1 µ

=

|G

_D,bµc

|

^m

1 1

bµc

bµc/µ

,

et en passant ` a la limite sup´ erieure dans les deux membres, nous obtenons le r´ esultat en vertu

de la d´ efinition (8).

Avant de nous concentrer sur la majoration de K

_m

, ´ etape clef de notre ´ etude, nous allons,

pour illustrer la qualit´ e des estimations que nous obtiendrons, donner une minoration simple

et utile de K

_m

:

(5)

Lemme 2. Pour tout r´ eel m > 1, nous avons K

_m

> 1

r . D´ emonstration. Nous ´ ecrivons

U

D

(x) − 1 = 1 t

X

d∈D

(e(dx) − 1).

En utilisant l’in´ egalit´ e |e(x) − 1| 6 2π |x| nous obtenons

| U

D

(x) − 1| 6 1 t

X

d∈D

2πd |x| 6 2πr |x| . Ainsi pour |x| 6

_N¹

,

U

D

(x)

> 1 − 2πr N . Si 0 < x <

_N¹

r

^−N

, alors 0 < r

^k

x <

_N¹

pour 0 6 k < N , donc

G

_D_,N

(x)

= Y

06k<N

U

D

(r

^k

x)

> 1 − 2πr N

N

. Nous en d´ eduisons la minoration

Z

1

0

G

_D_,N

(x)

m

dx

_N¹

> Z

r^−N/N 0

G

_D_,N

(x)

m

dx

_N¹

> r

^−N

N 1 − 2πr N

mN

_N¹

> 1

r 1 − 2πr N

m

1 N

_N¹

et par passage ` a la limite sup´ erieure nous avons finalement K

_m

= lim sup

N→+∞

Z

1

0

G

_D_,N

(x)

m

dx

_N¹

> 1 r .

Le lemme suivant, dont la d´ emonstration fera l’objet du paragraphe 2.3, montre que si nous sommes capables de majorer la constante K

_m

pour un certain entier m, nous pourrons alors obtenir une majoration des moyennes de G

_D_,N

. Un ensemble R est dit δ bien espac´ e si r − r

⁰

> δ d` es que r et r

⁰

sont deux points distincts de R.

Lemme 3. Soit > 0 fix´ e. Soit δ > 0 et R une famille δ bien espac´ ee de points de [

^δ₂

, 1 −

^δ₂

], globalement invariante modulo 1 par la multiplication par r. Pour tout entier m, tel que

1 6 m 6 log r

log

¹_δ

N, (17)

nous avons

X

x∈R

G

_D,N

(x)

,m,r

1 δ

1+^log_log^Km_r +

. (18)

la constante implicite d´ ependant au plus de , m et r.

(6)

2.2. Moyenne de la d´ eriv´ ee de (G

_D_,N

)

^m

.

La constante K

_m

permet aussi de majorer les moyennes de la d´ eriv´ ee de G

_N

. C’est l’objectif de ce lemme :

Lemme 4. Soit > 0 fix´ e. Uniform´ ement sur µ, nous avons la majoration

G

_D_,µ^m

0

1

_,m,r

r

^µ

K

_m

+

µ

. (19)

D´ emonstration. Nous calculons la d´ eriv´ ee de (G

_N

)

^m

comme un produit :

|(G

_D_,µ^m

)

⁰

(x)| = m |(G

_D_,µ

)

⁰

(x)|

G

_D_,µ^m−1

(x)

6 m X

k<µ

r

^k

U

D0

(r

^k

x)

Y

j<µ j6=k

U

D

(r

^j

x)

G

_D_,µ^m−1

(x)

6 m X

k<µ

r

^k

U

_D⁰

(r

^k

x)

|G

_D_,k^m

(x)|

puisque nous retirons des nombres de module inf´ erieur ` a 1 du produit int´ erieur. Nous majorons trivialement la d´ eriv´ ee de U

_D

par une constante ne d´ ependant que de D :

| U

_D⁰

(y)| 6 2π

X

d∈D

d e(dy)

6 2π X

d∈D

d.

Donc

|(G

_D,µm

)

⁰

(x)|

r

m X

k<µ

r

^k

|G

_D,km

(x)| . (20) Nous utilisons cette majoration pour obtenir

G

_D_,µ^m

0

1

_r

m X

k<µ

r

^k

G

_D_,k^m

1

_r,m,

X

k<µ

r

^k

K

_m

+

k

et comme, d’apr` es le Lemme 2, r(K

_m

+ ) > 1, on en d´ eduit

G

_D,µm

0

1

r,m,

r

^dµe

(K

_m

+ )

^dµe

r(K

_m

+ ) − 1

r,m,

r

^µ

K

m

+

µ

,

ce qui termine la preuve.

2.3. Preuve du lemme 3.

Lemme 5. Soit R un ensemble de points qui est globalement invariant modulo 1 par la mul- tiplication par r. Pour tout m > 1 entier,

X

x∈R

|G

_D_,N

(x)| 6 X

x∈R

G

_D_,N/m

(x)

m

.

D´ emonstration. Nous pouvons ´ evidemment supposer que m > 2. Commen¸cons par ´ etudier le cas o` u

^N_m

est un entier. On ´ ecrit

R (N ) := X

x∈R

|G

_D,N

(x)| = X

x∈R

Y

06k<N

U

D

(r

^k

x)

6 X

x∈R

Y

06j6m−1

Y

j

mN6k<^j+1_m N

U

_D

(r

^k

x) .

L’in´ egalit´ e arithm´ etico-g´ eom´ etrique

(a

₀

· · · a

m−1

)

^1/m

6

_m¹

(a

₀

+ · · · + a

m−1

),

(7)

appliqu´ ee avec

a

_j

= Y

j

mN6k<^j+1_m N

U

_D

(r

^k

x)

m

, permet d’obtenir

R (N ) 6 X

x∈R

1 m

X

06j6m−1

Y

j

mN6k<^j+1_m N

U

_D

(r

^k

x)

m

. Ainsi

R (N ) 6 1 m

X

06j6m−1

X

x∈R

Y

j

mN6k<^j+1_m N

U

D

(r

^k

x)

m

.

Comme l’ensemble R est stable modulo 1 par la multiplication par r, nous avons donc la majoration cherch´ ee :

R (N ) 6 1 m

X

j6m−1

X

x∈R

Y

k<^N_m

U

D

(x)

m

.

Pour le cas g´ en´ eral, si ˆ N d´ esigne le plus grand multiple de m inf´ erieur ` a N , alors nous pouvons ´ ecrire bN/mc = ˆ N /m et

R (N ) 6 R ( ˆ N ) 6 X

x∈R

G

_D_,_{N /m}_ˆ

(x)

m

= X

x∈R

G

_D_,N/m

(x)

m

ce qui termine la preuve du lemme.

D´ emonstration du lemme 3. Comme G

_D_,N

(r) est le produit de fonctions de module inf´ erieur

`

a 1, l’application

µ 7→ |G

_D_,µ

(r)|

est pour chaque r´ eel r d´ ecroissante. Si µ 6

^N_m

, nous avons donc grˆ ace au lemme 5 X

r∈R

G

_D_,N

(r) 6 X

r∈R

G

_D,N/m

(r)

m

6 X

r∈R

G

_D,µ

(r)

m

. (21)

Nous majorons cette somme en utilisant le lemme de Sobolev-Gallagher ´ enonc´ e dans [8, lemme 1.2] que nous rappelons ici

Lemme 6 (Sobolev-Gallagher). Soient δ > 0, R un ensemble δ-bien espac´ e de points de [

^δ₂

, 1 −

₂^δ

] et f une fonction admettant une d´ eriv´ ee continue sur [0, 1]. Alors

X

x∈R

|f (x)| 6 δ

⁻¹

f

1

+ 1 2

f

⁰

1

. Alors, (21) devient

X

r∈R

G

_D_,N

(r) 6 1

δ

G

_D_,µ^m

1

+

G

_D_,µ^m

0

1

. Le lemme 4 fournit donc pour tout µ 6

^N_m

,

X

r∈R

G

_D_,N

(r)

_,r

1 δ K

_m

+

µ

+ m r(K

_m

+ )

µ

_,r

m 1 δ + r

^µ

K

_m

+

µ

. Nous optimisons le param` etre µ en choisissant

µ := − log δ

log r .

(8)

L’hypoth` ese du lemme implique µ 6

^N_m

, donc X

r∈R

G

_D_,N

(r)

_,m,r

1 δ K

_m

+

µ

_,m,r

1 δ

1+^log(Km+)_log_r

.

La majoration du lemme s’en d´ eduit imm´ ediatement puisque ce r´ esultat est vrai pour tout

> 0.

2.4. Cardinal de W

_D

(x) et de W

_D

(x, a, q).

Nous commen¸cons par ´ enoncer un r´ esultat qui permet de limiter notre ´ etude au cas o` u x est une puissance de r, i.e. lorsqu’il existe N tel que x = r

^N

. Des versions similaires ont d´ ej` a

´

et´ e exploit´ ees par exemple par [2]. L’´ etude de ce cas particulier est naturelle car la moyenne des exponentielles

1 t

^N

X

n∈W_D(r^N)

e(nz) = G

_D_,N

(z) se factorise alors compl` etement.

Lemme 7. Soit x = P

N <M

x

N

r

^N

d´ ecompos´ e dans la base r. Notons K := max{N < M, x

_N

6∈ D }

en convenant que K = 0 si l’ensemble est vide ( i.e. si x est ellips´ ephique). Alors

#W

_D

(x) = X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

, (22) et pour tout ensemble d’entiers Q ,

X

q∈Q

max

a∈Z

#W

_D

(x, a, q) − #W

_D

(x) q

6 X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q ) (23) avec les notations

D (y) := #{d ∈ D , d < y}, (24)

R

N

( Q ) := X

q∈Q

1 q

X

0<l<q

G

_D_,N

l q

. (25) D´ emonstration. Nous pouvons s´ eparer W

_D

(x) en deux classes : les entiers dont le premier chiffre est strictement inf´ erieur ` a x

_M−1

et ceux dont le premier chiffre est ´ egal ` a x

M−1

. Si x

M−1

6∈ D , alors

W

_D

(x) = W

_D

(x

M−1

r

^M−1

) Si x

_M−1

∈ D , alors nous avons l’union disjointe

W

_D

(x) = W

_D

(x

_M−1

r

^M−1

) t x

_M−1

r

^M⁻¹

+ W

_D

(x − x

M−1

r

^M⁻¹

)

et nous pouvons appliquer de nouveau ce d´ ecoupage ` a x − x

M−1

r

^M−1

(qui est le nombre x “priv´ e” de son premier chiffre). ` A l’´ etape M − K, en notant X

_N

:= P

N <j<M

x

_j

r

^j

, nous obtenons l’´ egalit´ e

W

_D

(x) = G

K6N <M

X

_N

+ W

_D

(x

_N

r

^N

) .

L’´ egalit´ e (22) s’en d´ eduit puisque la r´ eunion est disjointe. Nous obtenons aussi pour tout z ∈ C ,

X

n∈W_D(x)

e(zn) = X

K6N <M

e(zX

_N

) X

n∈W_D(x_Nr^N)

e(zn). (26)

(9)

La premi` ere ´ etape pour montrer (23) est de se ramener ` a des sommes trigonom´ etriques grˆ ace ` a l’´ egalit´ e

#W

_D

(x, a, q) = X

n∈W_D(x)

1 q

X

06l<q

e l(n − a) q

En isolant le terme l = 0 :

#W

_D

(x, a, q) = #W

_D

(x)

q + 1

q X

0<l<q

e

− la q

X

n∈W_D(x)

e ln q

.

Nous obtenons successivement, en utilisant (26) avec z :=

_q^l

pour la seconde majoration,

#W

_D

(x, a, q) − #W

_D

(x) q

6 1

q X

0<l<q

X

n∈W_D(x)

e ln q

6 1 q

X

0<l<q

X

K6N <M

X

n∈W_D(xNr^N)

e ln q

6 X

K6N <M

1 q

X

0<l<q

X

n0,...,nN∈D n_N<x_N

Y

j6N

e ln

_j

r

^j

q

o` u n = P

j

n

_j

r

^j

est la d´ ecomposition de n en base r. Ainsi, X

q∈Q

#W

_D

(x, a, q) − #W

_D

(x) q

6 X

q∈Q

X

K6N <M

1 q

X

0<l<q

Y

j6N

X

nj∈D nN<xN

e ln

_j

r

^j

q

, donc en isolant le terme j = N que l’on majore trivialement par D (x

_N

),

X

q∈Q

#W

_D

(x, a, q) − #W

_D

(x) q

6 X

q∈Q

X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

1 q

X

0<l<q

G

_D_,N

l q

6 X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q ).

Remarque 3. En r´ eunissant les informations de (22) et de (23), nous obtenons la majoration moins pr´ ecise mais plus “explicite” : pour tout > 0,

X

q∈Q

max

a∈Z

#W

_D

(x, a, q) − #W

_D

(x) q

6 #W

_D

(x) sup

(1−)M6N <M

R

N

( Q ) + t

³

t − 1

# Q x

^ρ

!

(27) D´ emonstration de (27). Majorons le membre de droite de (23) :

X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q )

6 X

max{K,(1−)M}6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q ) + X

N <(1−)M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q )

6 #W

_D

(x) sup

(1−)M6N <M

R

N

( Q ) + t

t − 1 (# Q ) t

^M^−M+1

en rempla¸cant R

N

( Q ) par sa borne sup´ erieure dans le premier terme et par # Q dans le second. Comme r

^M−1

6 x < r

^M

, nous avons t

^M⁻¹

6 #W

_D

(x) et t

^−M

< x

^−ρ

, ce qui permet

de terminer la preuve de (27).

(10)

2.5. R´ eduction de la preuve du Th´ eor` eme 4.

Nous montrons comment une bonne majoration de K

_m

et le lemme 3 permet de d´ emontrer le Th´ eor` eme 4.

Lemme 8. Soient r > 3, k > 2 et m un entier pair tel que

r

^2k−1

K

_m^2k

< 1. (28)

Soit c > 0 un r´ eel v´ erifiant

c >

^2k−1_ρ

si tK

_m^m¹

6 1 ;

c > 2km − 1 ρ

1 − 2k − 2k log K

_m

log r

sinon.

Alors uniform´ ement pour 2 6 y 6 x

¹^c

, on a

#

n ∈ W

_D

(x), ∃p

^k

| n, y 6 p < 2y > k 2

^k

#W

_D

(x) y

^k−1

log x

1 + O( 1 log y )

.

D´ emonstration. Soit 2 6 y 6 x

¹^c

. En notant ν

p

(n) la valuation p-adique de n, on a pour tout entier n :

n > Y

p|n p>y νp(n)>k

p

^ν^p⁽ⁿ⁾

> Y

p|n p>y νp(n)>k

y

^k

= Y

p^k|n p>y

y

^k

= y

k#{p>y, p^k|n}

.

Ainsi

#{p > y, p

^k

| n} 6 log n k log y , et donc

#

n ∈W

_D

(x) / ∃p

^k

| n, y 6 p < 2y

> k log y log x

X

n∈W_D(x)

X

y6p<2y p^k|n

1 = k log y log x

X

y6p<2y

#W

_D

(x, 0, p

^k

)

> k log y log x

X

y6p<2y

#W

_D

(x)

p

^k

− X

y6p<2y

#W

_D

(x)

p

^k

− #W

_D

(x, 0, p

^k

)

> k log y log x

X

y6p<2y

#W

_D

(x)

p

^k

− X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q

y

) (29) en appliquant le Lemme 7 ´ enonc´ e et prouv´ e dans le paragraphe pr´ ec´ edant, avec le choix de Q

y

:= {p

^k

, y 6 p < 2y}. En utilisant le th´ eor` eme des nombres premiers, nous v´ erifions que le terme principal dans (29) est sup´ erieur ` a

k 2

^k

#W

_D

(x) y

^k−1

log x

1 + 0 1 log y

Une meilleure constante peut ˆ etre obtenue en ´ evaluant cette somme plus pr´ ecis´ ement. La preuve sera donc termin´ ee d` es que nous aurons montr´ e

X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

R

N

( Q

y

) #W

_D

(x)

y

^k−1

log

²

x , (30)

la constante implicite pouvant d´ ependre des param` etres r, t, k, m ou c.

Nos appliquons le lemme 3 ` a l’ensemble y

^−2k

bien espac´ e R :=

_l

p^k

, 0 < l < p

^k

, y 6 p < 2y . (31)

(11)

Si y est assez grand, par exemple y > r, tout nombre premier p ∈ [y, 2y[ est premier avec r donc le lemme de Gauß assure que R est bien globalement invariant modulo 1 par la multiplication par r. D` es que

m 6 log r

2k log y N, (32)

nous avons d’apr` es (18)

R

N

( Q

y

) 6 1 y

^k

X

y6p<2y

X

0<l<p^k

G

_D_,N

l p

^k

y

^−k

m y

^2k

1+^log(Km+ε)_log_r

_,m

y

^k

1+2^log(Km+ε)_log_r

. (33)

Ainsi, X

K6N <M

D (x

N

)t

^N

R

N

( Q

y

)

_,m

X

K6N <M

D (x

_N

)t

^N

y

^k(1+2^log(Km+ε)^log^r ⁾

+ X

N <2km^log_log^y_r

t

^N+1

y

^k

(K

_m

+ ε)

^m^N

, la seconde majoration ´ etant obtenue en appliquant le lemme 3 avec le choix de

m := log r 2k log y N pour que notre hypoth` ese sur m soit v´ erifi´ ee.

La premi` ere somme s’´ evalue grˆ ace ` a (22), tandis que la seconde se calcule comme somme d’une s´ erie g´ eom´ etrique de raison t(K

_m

+ ε)

^m¹

. Traitons en d´ etail le cas le plus compliqu´ e o` u tK

m

1 m

> 1 :

X

K6N <M

D (x

N

)t

^N

R

N

( Q

y

) 6

#W

_D

(x) + t

²

(K

_m

+ ε)

^m¹

t(K

_m

+ ε)

^m¹

− 1

y

^2kmρ

y

^k(1+2^log(Km+ε)^log^r ⁾

. Comme y 6 x

¹^c

, la condition (30) est vraie d` es que (quitte ` a choisir ε assez petit) :

2kmρ + k(1 + 2 log K

_m

log r ) < cρ + 1 − k, k(1 + 2 log K

_m

log r ) < 1 − k.

Ces conditions sur c et sur K

_m

sont exactement celles impos´ ees dans l’´ enonc´ e du Lemme 8.

Remarque 4. Nous ne parviendrons pas ` a obtenir de majoration de K

m

suffisamment pr´ ecise pour ˆ etre dans le cas tK

_m^m¹

6 1. Il est d’ailleurs probable que cette condition soit impossible.

Si tK

_m^m¹

> 1, l’hypoth` ese (28) montre que le choix de c = 2km est acceptable.

Remarque 5. Notre m´ ethode permet aussi d’obtenir une majoration du nombre d’entiers el- lips´ ephiques divisibles par une puissance d’un grand nombre premier en partant de la majo- ration

#{n ∈ W

_D

(x), ∃p

^k

| n, y 6 p 6 2y} 6 X

n∈W_D(x)

X

y6p62y p^k|n

1.

(12)

2.6. Encadrement de K

_m

pour D = {0, 1}.

Nous prouvons dans cette partie le Th´ eor` eme 1 par une m´ ethode essentiellement combina- toire : nous interpr´ etons K

m

comme le nombre de solutions d’une ´ equation et nous d´ enombrons par r´ ecurrence ces solutions.

Lemme 9. Pour β ∈ Z , notons X

N

(β) le nombre de solutions dans W

_D

(r

^N

) de l’´ equation n

₁

+ · · · + n

_l

= m

₁

+ · · · + m

_l

+ βr

^N

. (34) Pour N = 0, nous convenons que X

₀

(β) = 1 si β = 0 et 0 sinon. Alors

G

_D_,N^2l

1

= t

^−2lN

X

_N

(0) (35)

et X

_N

(β) se calcule grˆ ace ` a la relation de r´ ecurrence X

_N+1

(β) = X

|j|<_r−1^l

2l l + j − βr

X

_N

(j), (36)

D´ emonstration. Pour prouver (35), il suffit de remarquer qu’en d´ eveloppant le produit, nous avons

t

^2lN

G

_D_,N^2l

1

=

Z

1

0

X

n∈W_D(r^N)

e(nu)

l

X

m∈W_D(r^N)

e(−mu)

l

du

= Z

1

0

X

n1,...,n_l∈W_D(r^N) m1,...,m_l∈W_D(r^N)

e((n

₁

+ · · · + n

_l

− m

₁

− · · · + m

_l

)u)du

= X

n1,...,nl∈W_D(r^N) m1,...,m_l∈W_D(r^N)

Z

1

0

e((n

₁

+ · · · + n

_l

− m

₁

− · · · + m

_l

)u)du

et l’int´ egrale vaut 1 ou 0 suivant que n

₁

+ · · · + n

_l

= m

₁

+ · · · + m

_l

ou pas. Nous comptons donc exactement le nombre de solutions dans W

_D

(r

^N

) de l’´ equation

n

₁

+ · · · + n

_l

= m

₁

+ · · · + m

_l

, ce qui est la d´ efinition de X

N

(0).

Pour prouver (36), d´ ecomposons les nombres ellips´ ephiques de W

_D

(r

^N+1

) en isolant leur chiffre d’indice N :

n

_k

= d

_k

r

^N

+ ˆ n

_k

avec d

_k

∈ D et ˆ n

_k

∈ W

_D

(r

^N

) ; m

_k

= e

_k

r

^N

+ ˆ m

_k

avec e

_k

∈ D et ˆ m

_k

∈ W

_D

(r

^N

).

Alors n

1

+ · · · + n

l

= m

1

+ · · · + m

l

+ βr

^N+1

si et seulement si X

k

d

_k

r

^N

+ X

k

ˆ

n

_k

= X

k

e

_k

r

^N

+ X

k

ˆ

m

_k

+ βr

^N+1

si et seulement s’il existe j ∈ Z tel que

X

k

ˆ

n

_k

= X

k

ˆ

m

_k

+ jr

^N

(37)

et

X

k

d

_k

= X

k

e

_k

+ βr − j. (38)

Pour chaque j, nous avons donc X

N

(j) choix possibles pour les ˆ n

k

et ˆ m

j

et nous avons

_l+βr−j^2l

choix pour les d

_k

et e

_k

. Comme D = {0, 1}, le nombre de solutions de l’´ equation (38) est en

(13)

effet

X

i∈Z

l i

l l + βr − j

=

2l l + βr − j

.

Cette relation se d´ emontre par exemple en identifiant les coefficients de x

^l+βr−j

du polynˆ ome (1 + x)

^l

(1 + x)

^l

= (1 + x)

^2l

d´ evelopp´ e par la formule du binˆ ome de Newton.

Remarquons aussi que l’´ egalit´ e (37) impose |j| <

_r−1^l

puisque nous avons les encadrements 0 6 X

k

ˆ

n

_k

6 l r

^N

− 1

r − 1 , 0 6 X

k

ˆ

m

_k

6 l r

^N

− 1 r − 1 . Ainsi,

X

_N+1

(β) = X

|j|<_r−1^l

2l l + j − βr

X

_N

(j), (39)

ce qui termine la preuve du lemme.

Lemme 10. Pour tout N > 0, l > 1 et r > 3 des entiers, K

_2l

6 1

r X

06n<r

cos

^2l

π n

r

< 1

r + 2

^−2l

2l

l

. (40)

D´ emonstration. Posons k :=

_l

r−1

. Notons

X

_N

:=

XN(1−k)

.. .

X_N(k−1)

!

∈ R

^2k−1

et M la matrice d´ efinie par

M = h

2l l − ir + j

i

−k<i,j<k

de sorte que X

_N+1

= M X

_N

.

Munissons R

^2k−1

de la norme 1 et M

2k−1

( R ) de la norme qui lui est subordonn´ ee, kM k := max

|j|<k

n X

|i|<k

|m

_i,j

| o .

Ainsi

|X

_N

(0)| 6 kX

_N

k = kM

^N

X

₀

k 6 kM k

^N

kX

₀

k = kM k

^N

. En utilisant l’´ equation (35), nous trouvons la premi` ere majoration

K

_2l

6 2

^−2l

max

|j|<_r−1^l

n X

|i|<_r−1^l

2l l − ir

o

. (41)

(14)

Fixons maintenant j et notons ξ := e(

¹_r

). Alors X

k≡j[r]

2l l − k

= X

k

1 r

X

06n<r

ξ

^(k−j)n

2l

l − k

= 1 r

X

06n<r

ξ

^−n(j+l)

1 + ξ

ⁿ

2l

= 1 r

X

06n<r

ξ

^−nj

ξ

ⁿ²

+ ξ

⁻ⁿ²

2l

6 2

^2l

r

X

06n<r

cos

^2l

π n r

.

En prenant le maximum sur j dans (41), nous avons d´ emontr´ e la premi` ere majoration du lemme. Nous majorons la somme par l’int´ egrale correspondante pour en d´ eduire

K

2l

6 1 r + 1

r X

0<n<r

cos

^2l

π n r

< 1 r + 2

Z

^π₂

0

cos

^2l

(πs) ds

ce qui prouve le lemme 10 apr` es le calcul de l’int´ egrale de Wallis.

2.7. Encadrement de K

_m

pour D quelconque.

Le lemme 1 de [4] ´ enonce que si D est un sous-ensemble de {0, ..., r − 1} de cardinal au moins 2 et telle que pgcd D = 1, alors pour tout x ∈ R , il existe d ∈ D tel que

kdxk > 1

2(r − 1)

²

kxk.

Cette minoration est ensuite utilis´ ee pour majorer U

_D

point par point :

U

_D

(x)

6 1 − 1

(r − 1)

⁵

kxk

²

,

majoration qui peut ˆ etre utilis´ ee ` a son tour pour estimer K

_m

. Nous commen¸cons en reprenant la preuve de la majoration de U

D

dans le but d’am´ eliorer la constante obtenue : elle pr´ esentera l’avantage d’ˆ etre du bon ordre de grandeur en r.

Lemme 11. Soit D tel que pgcd D = 1. Notons δ le plus petit ´ el´ ement non nul de D et ∆ le plus grand. Alors pour tout x ∈ R , il existe d ∈ D tel que

kdxk > 2

δ + ∆ kxk. (42)

D´ emonstration. Notons K :=

_δ+∆²

et consid´ erons x ∈ R tel que

kδxk < K kxk. (43)

Nous allons montrer l’existence d’un d ∈ D v´ erifiant (42).

Ecrivons ´ δx = m + θ avec m ∈ Z , et |θ| = kδxk 6

¹₂

. Supposons que δ | md pour tout d ∈ D . On aurait alors

δ | pgcd(m D ) = m pgcd D = m.

Donc

^m_δ

est un entier et l’hypoth` ese (43) permet de calculer kxk =

m δ + θ

δ

= |θ|

δ = kδxk

δ < K δ kxk.

Comme K 6 1 et δ > 1, nous aboutissons ` a une absurdit´ e. Par cons´ equent, il existe un d ∈ D

tel que δ - md. Pour un tel d ∈ D , montrons que kdxk > Kkxk.

(15)

On ´ ecrit dx = d

^m_δ

+ d

^θ_δ

, donc

kdxk >

dm δ

− d

δ θ

. Or

dm δ

> 1

δ > 2kxk δ et, ` a l’aide de l’hypoth` ese (43),

d δ

θ = d

δ kδxk 6 d

δ Kkxk 6 ∆ δ Kkxk puisque ∆ est le plus grand ´ el´ ement de D . Ainsi

kdxk > 2

δ kxk − ∆

δ K kxk.

ce qui termine la preuve puisque 2/δ − K∆/δ = K.

Remarque 6. Montrons que la constante de (42) est du bon ordre de grandeur :

Si D = {0, 1}, nous trouvons que K = 1, et nous ne pouvons ´ evidemment pas faire mieux.

Si D = {0, d

₁

, d

₂

} avec d

₂

> 3 impair et d

₁

:= d

₂

− 2. Notons aussi k :=

^d²₂⁻¹

et l := d

₁

qui sont des entiers tels que

k(d

₁

+ d

₂

) = ld

₂

+ 1.

Pour le choix de x :=

_d ^l

1+d2

, nous avons donc d

₁

x

=

d

₁

d

₂

d

₂

l d

₁

+ d

₂

=

l − k + 1 d

₂

− d

₁

d

₂

1 d

₁

+ d

₂

=

1 d

₁

+ d

₂

= 1 d

₁

+ d

₂

, d

₂

x

=

d

₂

l d

₁

+ d

₂

=

k − 1 d

₁

+ d

₂

= 1 d

₁

+ d

₂

.

Comme 1

d

₁

+ d

₂

= kxk

d

₁

, nous avons pour tout d de D , kdxk = 1

d

₁

kxk. En choisissant d

₁

= r− 3 ou r −4 suivant la parit´ e de r, nous avons bien trouv´ e un ensemble D pour laquelle la constante de (42) est presque optimale (du bon ordre de grandeur en r).

Lemme 12. Pour tout r´ eel y, nous avons la majoration

|1 + e(y)| 6 2(1 − 4kyk

²

). (44) D´ emonstration. Sans perte de g´ en´ eralit´ e, nous pouvons supposer que 0 6 y 6

¹₂

en utilisant la parit´ e et la p´ eriodicit´ e de la fonction ´ etudi´ ee. Alors

|1 + e(y)| = 2 cos(πy) = 2 − 4 sin

²

(πy/2).

La concavit´ e de z 7→ sin(πz/2) entre 0 et

¹₂

permet de la minorer cette fonction par sa corde, donc

sin(πy/2) > √ 2 y

d’o` u l’on d´ eduit la majoration du lemme.

Lemme 13. Soit D une sous-ensemble de {0, ..., r − 1} de cardinal t > 2. Soit A > 0 tel que pour tout x ∈ R , il existe d

1

et d

2

∈ D avec k(d

1

− d

2

)xk > Akxk. Pour tout x ∈ R , nous avons

U

_D

(x)

6 1 − 8A

²

t kxk

²

. (45)

(16)

D´ emonstration. Soit x ∈ R . Par hypoth` ese, il existe deux ´ el´ ements d

₁

et d

₂

∈ D tels que

k(d

₁

− d

₂

)xk > Akxk. (46)

Ainsi,

| U

_D

(x)| = 1 t

X

d∈D

e(dx)

6 1

t |e(d

₁

x) + e(d

₂

x)| + t − 2 t 6 1 − 2

t + 1 t

1 + e (d

₁

− d

₂

)x

en isolant les ´ el´ ements de D correspondant ` a d

₁

et d

₂

. La majoration (44) donne

| U

D

(x)| 6 1 − 2 t + 2

t

1 − 4

(d

₁

− d

₂

)x

2

6 1 − 8A

²

t

x

2

en utilisant (46).

Corollaire 1. Soit D est un sous-ensemble strict de {0, ..., r − 1} de cardinal t > 2 contenant 0 tel que pgcd D = 1. Alors pour tout x r´ eel

U

D

(x)

6 1 − 64

(r + 1)

³

kxk

²

. (47)

D´ emonstration. Notons D

⁰

:= ( D − D ) ∩ [1, +∞[ et δ (respectivement ∆) le plus petit (res- pectivement grand) ´ el´ ement de D

⁰

.

Si δ = 1, cela signifie qu’il existe deux ´ el´ ements d

₁

et d

₂

dans D avec d

₂

= d

₁

+1. L’hypoth` ese du lemme 13 est donc v´ erifi´ ee pour le choix de A := 1, ce qui implique

U

D

(x)

6 1 − 8 t kxk

²

.

Comme r > 3, r

²

+ 3r − 5 > 0, donc r

³

+ 3r

²

− 5r + 7 > 0 ce qui se r´ e´ ecrit (r + 1)

³

> 8(r − 1).

Donc

8 t > 8

r − 1 > 64 (r + 1)

³

,

ce qui termine la preuve de la majoration du lemme lorsque δ = 1.

Si t = 2, comme D contient 0 et comme pgcd D = 1, c’est que D = {0, 1} et la majoration (47) est vraie.

Nous pouvons donc supposer que δ > 2 et que t > 3. Comme 0 ∈ D , D \{0} est un sous ensemble de D

⁰

, donc pgcd D

⁰

= 1. Nous pouvons donc utiliser le lemme 11 avec D

⁰

, ce qui permet d’appliquer la majoration du lemme 13 et d’obtenir

U

D

(x)

6 1 − 32

t(δ + ∆)

²

kxk

²