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100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

A376 − Les forts et les faibles [*** à la main]

Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est

strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. A l'inverse cet entier est dit "faible".

Par exemple, 4 est fort car il a trois diviseurs (1,2,4) et chacun des entiers 1,2,3 a au plus deux diviseurs.

15 est faible car il a 4 diviseurs (1,3,5,15) alors que 12 qui est inférieur à 15 en a 6 (1,2,3,4,6,12).

Q₁ Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible?

Q₂Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs

Q₃ Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.

Q₄ Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.

Q₅ Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort?

Solution proposée par Bernard Vignes

Q₁ Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est 960. En effet 28 peut s'écrire comme le produit 7.2.2, ce qui donne l'entier 2⁶.3.5 = 960 ou encore l’entier 28 = 7.4 soit 2⁶.3³ = 1728 > 960.

Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est donc 960.

960 est un entier faible car 720 = 2⁴.3².5 a 5.3.2 = 30 diviseurs.

Q₂ Le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs est 55440 qui a 120 diviseurs.

Comme 112 = 7.2⁴ qui s’écrit 7.4.2.2, le plus petit entier qui a 112 diviseurs est 60480 = 26 × 33 × 5 × 7.

C'est un entier faible car 55440 = 24 × 32 × 5 × 7 × 11 a 5.3.2³ = 120 diviseurs et l’entier 55440 est fort car il n’y a aucun entier qui lui est inférieur avec un nombre de diviseurs au moins égal à 120.

Q₃ On établit la liste (L) des plus petits entiers qui ont exactement k diviseurs pour k = 1 à 40.

Pour k > 40, il n’y a aucun entier ≤ 2019 qui est le plus petit entier ayant exactement k diviseurs.

Tout entier de cette liste (L) est considéré comme entier fort s’il n’existe pas d’entier qui lui est inférieur avec un nombre de diviseurs plus grand.La liste des entiers forts (en grisé dans le tableau ci-dessus) est alors la

(2)

suivante: 1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680 Ils sont tous du type 2a.3b.5c.7d avec a≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0.

Il y a 17 entiers forts ≤ 2019, donc 2002 entiers faibles ≤ 2019.

Pour mémoire, la suite des plus petits entiers qui ont exactement k diviseurs figure dans l’OEIS sous la rubrique A005179 Smallest number with exactly n divisors.

(Formerly M1026)

135

1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192, 144, 120, 65536, 180, 262144, 240, 576, 3072, 4194304, 360, 1296, 12288, 900, 960, 268435456, 720, 1073741824, 840, 9216, 196608, 5184, 1260, 68719476736, 786432, 36864, 1680, 1099511627776, 2880(list; graph;

refs; listen; history; text; internal format)

Q₄

Le plus petit entier fort < 100000 qui a le plus grand nombre de diviseurs est 83160.

On recherche une suite d’entiers a ≥ b ≥ c ≥d.. ≥ 0 telle que N = 2a.3b.5c.7d..est le plus petit entier < 100 000 et le nombre de diviseurs τ(N) = (a + 1).(b + 1).(c + 1).... est le plus grand possible.

La factorisation de N fait apparaître au maximum les six facteurs premiers 2,3,5,7,11,13 car le produit des nombres premiers 2,3,5,7,11,13 et 17 est supérieure à 100000.

Si l’on retient les six facteurs premiers 2,3,5,7,11,13 dont le produit est égal à 30030, la contrainte N <100000 entraine a ≤ 2, b = c = d = e = f = 1 et τ(N) ≤ 96.

On retient ensuite les cinq facteurs premiers 2,3,5,7 et 11 dont le produit est égal à 2310.

Si N = 2⁶.3.5.7.11 = 73920, alors τ(N) = 112.

Si N = 2⁵.3².5.7.11= 110880 > 100000. Impossible.

Si N = 2⁴.3².5.7.11 = 55440, alors τ(N) = 120.

Si N = 2³.3³.5.7.11 = 83160, alors τ(N) = 128.

Avec les quatre facteurs premiers 2,3,5 et 7 :

si τ(N) = 128 avec N = 2⁷.3³.5.7 = 120960 > 100000. Impossible.

si N = 2⁸.3².5.7 = 80640 < 100000 alors τ(N) = 108.

si N = 2⁶.3².5².7 = 100800 > 100000 avec τ(N) = 126.Impossible.

La solution optimale est N = 2³.3³.5.7.11 = 83160 avec τ(N) = 128, ce que confirme la consultation de l’OEIS : A002182 Highly composite numbers, definition (1): where d(n), the number of divisors of n (A000005),

increases to a record.

(Formerly M1025 N0385)

270

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320, 221760, 277200, 332640, 498960, 554400, 665280, 720720, 1081080, 1441440, 2162160(list;

graph; refs; listen; history; text; internal format)

Q₅

Les seules valeurs de n pour lesquelles n! sont des entiers forts sont n = 1,2,3,4,5,6 et 7.

En effet pour n = 1 à 6, on vérifie que les valeurs correspondantes de n ! = 1,2,6,24,120,720 figurent dans la liste des entiers forts de Q₃.

Pour n = 7, on a 7! = 5040 = 2⁴.3².5.7 avec 60 diviseurs.C’est un nombre fort car il n’existe aucune suite d’entiers a ≥ b ≥ c ≥d.. ≥ 0 telle que N = 2a.3b.5c.7d...< 5040 et τ(N) = (a + 1).(b + 1).(c + 1).(d + 1)...≥ 60.

Si τ(N) = 60, alors les suites (5,4,3),(6,5,2),(10,3,2) etc..donnent des entiers N = 10800,12960,23040,..tous supérieurs à 5040. Même constat si τ(N) > 60, par exemple τ(N) = 64 ou 72.

Pour n ≥ 8, n! est toujours un entier faible.

Vérifions le pour n compris entre 8 et 20.

Pour n = 8 et n = 9, on obtient aisément les deux inégalités

8! = 40 320 = 27 × 32 × 5 × 7 [96 diviseurs]> 30 240 = 25 × 33 × 5 × 7 [96 diviseurs]

9! = 362 880 = 27 × 34 × 5 × 7 160 diviseurs] > 302 400 = 26 × 33 × 52 × 7 [168 diviseurs]

Pour n compris entre 10 et 20, on a n! = 2a.3b.5c.7d.11e.13f.17g.19h avec a > b > c ≥ d ≥ e≥ f..h≥ 0

(3)

Pour obtenir un entier n’ de la forme n’ = 2a’.3b’.5c’.7d’.11e’.13f’..qui est strictement inférieur à n! avec un nombre de diviseurs au moins égal, on garde les mêmes facteurs premiers de n! et on détermine un couple de facteurs premiers (p,q) avec les exposants correspondants (x,y) dans n! et (x’,y’) dans n’ tels que

p < q, x > y, x’ > y’, x > x’,y < y’,(x + 1).(y + 1) = (x’+ 1).(y’+ 1) et pxqy > px’qy’ soit px-x’> qy’-y. D’où le tableau :

Les entiers n’ ainsi obtenus sont donnés en annexe.

Pour n >20, on pose n’ = 13.n!/16

On a n’ < n! et l’on va démontrer que le nombre τ(n’) de diviseurs de n’ est strictement supérieur à τ(n!).

Si a et f sont les exposants de 2 et 13 dans n! et a’ et f’ ceux des mêmes facteurs premiers dans n’, on a a ‘ = a – 4 et f ‘ = f + 1.

D’où τ(n’)/τ(n!) = (a’ + 1).(f’ + 1)/[(a + 1).(f + 1)] = (a – 3).(f + 2)/[(a + 1).(f + 1)]

On a τ(n’) > τ(n!) ssi (a – 3).(f + 2) > (a + 1).(f + 1) ou encore ssi a > 4f + 7

Or en utilisant la formule bien connue qui donne la plus grande puissance d’un nombre premier qui divise une factorielle, on obtient :

a =

f =

On vérifie que pour n > 20, n – 2 – log2 n > n/3 + 7 ou encore 2n – 3log2 n > 27.C.q.f.d.

Annexe

Liste des entiers n’ < n ! (n = 10 à 20) tels que τ(n’) = τ(n!)

10! = 3 628 800 = 28 × 34 × 52 × 7 > 3 175 200 = 25 × 34 × 52 × 72 [270 diviseurs]

11!= 39 916 800 = 28 × 34 × 52 × 7 × 11 > 34 927 200 = 25 × 34 × 52 × 72 × 11 [540 diviseurs]

12! = 479 001 600 = 210 × 35 × 52 × 7 × 11 > 372 556 800 = 210 × 33 × 52 × 72 × 11 [792 diviseurs]

13! = 6 227 020 800 = 210 × 35 × 52 × 7 × 11 × 13 > 4 843 2384 00 = 210 × 33 × 52 × 72 × 11 × 13 [1584 diviseurs]

14! = 87 178 291 200 = 211 × 35 × 52 × 72 × 11 × 13 > 54 486 432 000= 28 × 35 × 53 × 7² × 11 × 13 [2592 diviseurs]

15! = 1 307 674 368 000 = 211 × 36 × 53 × 72 × 11 × 13 > 899 026 128 000 = 27 × 36 × 53 × 72 × 112 × 13 [4032 diviseurs]

16! = 20 922 789 888 000 = 215 × 36 × 53 × 72 × 11 × 13 > 9 153 720 576 000 = 211 × 36 × 53 × 73 × 11 × 13 [5376 diviseurs]

17! = 355 687 428 096 000 = 215 × 36 × 53 × 72 × 11 × 13 × 17 > 155 613 249 792 000 = 2¹¹ × 36 × 53 × 73 × 11 × 13 × 17 [10752 diviseurs]

18! = 6 402 373 705 728 000 = 216 × 38 × 53 × 72 × 11 × 13 × 17 > 5 928 123 801 600 000 = 216 × 35 × 55 × 72 × 11 × 13 × 17 [14688 diviseurs]

19! = 121 645 100 408 832 000 = 216 × 38 × 53 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 > 112 634 352 230 400 000 = 216 × 35 × 55 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 [29376 diviseurs]

20! =2 432 902 008 176 640 000 = 218 × 38 × 54 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 > 991 182 299 627 520 000 = 218 × 35 × 54 × 72 × 112 × 13 × 17 × 19 [41040 diviseurs]

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