E134 − Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kème terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ème terme du (k − 2)ème terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que les termes sont positifs ou nuls.
Q₁ Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q₂ Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait le plus grand nombre possible de termes égal à 21 avec un dernier terme égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution par Patrick Gordon Q1
Notons N le deuxième terme. Les premiers termes sont :
2018 N
2018 – N – 2018 + 2N 2×2018 – 3N – 3×2018 + 5N
À ce stade on voit apparaître, pour que les termes soient tous ≥ 0, un encadrement de N, à savoir : 3/5×2018 ≤ N ≤ 2/3×2018.
Si l'on poursuit, l'encadrement se resserre, les termes de rang pair fournissant une borne inférieure, ceux de rang impair une borne supérieure.
Aux rangs 11 et 12, l'encadrement est : 1247,078652 ≤ N ≤ 1247,490909. Aux rangs suivants, l'encadrement reste :
1247,*** ≤ N ≤ 1247,***.
La suite est donc à termes ≥0 jusqu’au rang 11 inclus. Un calcul au moyen d'un tableur vient le confirmer :
1 2018 2 1247 3 771
4 476 5 295 6 181 7 114 8 67 9 47 10 20 11 27 12 -7
La réponse est donc : le deuxième terme est N = 1247.
On remarquera que les coefficients de 2018 et de N dans les termes successifs (à partir du rang 3) forment deux suites de Fibonacci "alternées" (c’est-à-dire construites selon la règle ak = ak-1 – ak-2) identiques et décalées de 1 rang et que 2018 / 1247 = 1,61828388 est proche du nombre d'or.
Q2
La relation de récurrence de l'énoncé, à savoir : uk = uk-2 – uk-1
s'écrit aussi :
uk-2 = uk + uk-1
La suite des uk est donc de Fibonacci ascendante.
Partant de u21 = 2018 et en remontant, on arrive à u1 fonction croissante de u20. Il suffit de faire u20 = 0 pour avoir le minimum de u1 = 8 437 258.
