A386 – Les factorions
Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFF). La somme peut être réduite à un seul terme et par convention 0 ! = 1.
Q₁ Démontrer qu’en base 10 le nombre de factorions est fini.
Q₂ Dresser la liste complète des N factorions en base 10 Pour les plus courageux avec l’aide d’un automate :
Q₃ Démontrer qu’il existe une base b < 10 dans laquelle il existe N factorions comme en base 10 et une base b >10 dans laquelle il existe N + 1 factorions.
Q₄ Trouver une paire d’entiers distincts a et b appelés « factorions aimables » , telle que SFF(a) = b et SFF(b) = a.
Solution proposée par Patrick Gordon Q₁
Pour montrer que le nombre de factorions est fini, il faut montrer que, au-delà d'un certain nombre de chiffres, il n'y a pas de solution.
Soit k le nombre de chiffres de l'entier n et f la somme des factorielles de ses chiffres. On a :
10k-1 < n < 10k–1 k < f < 9!k
Or 9!k est et reste < 10k-1 dès que k = 8 (9!k = 2 903 040 et 10k-1 = 10 000 000). L'égalité n = f n'est donc pas possible pour un nombre n de plus de 7 chiffres.
Q₂
Recherche des factorions
nombres à 1 chiffre Il n'y a que 1 et 2.
nombres à 2 chiffres
Comme, à partir de 5! = 120, les factorielles ont plus de 2 chiffres, les seuls chiffres possibles ici sont de 0 à 4 (de 1 à 4 pour le premier), soit 20 nombres de 2 chiffres à essayer.
Il n'y a pas de solution à 2 chiffres.
nombres à 3 chiffres
Comme, à partir de 7! = 5040, les factorielles ont plus de 3 chiffres, les seuls chiffres possibles ici sont de 0 à 6 (de 1 à 6 pour le premier) – et pas plus d'un 6, car la somme des factorielles dépasserait 2×6! = 1440.
Par ailleurs les chiffres ne peuvent pas être tous les trois < 5, car la somme de leurs factorielles n'aurait que deux chiffres. L'un au moins des chiffres doit être égal à 5 ou 6.
Par exemple 145 est une solution.
J'en étais là quand, pensant que factorion était un terme inventé pour les besoins de ce problème mais voulant tout de même en avoir le cœur net, j'ai cherché sur Google : hélas! le problème est traité in extenso sur Wikipédia en huit langues (dont le tchouvache!). Pour les questions 2, 3 et 4, doctus cum Wikipedia, je recopie pour la bonne règle.
Q₂
La liste complète des N (N = 4) factorions en base 10 est :
1, 2, 145, 40585 Q₃
En base 6, il y a 4 factorions et en base 11 il y en a 5.
Q₄
Wikipédia (en anglais) donne pour amicable factorions les paires : (871, 45361) et (872, 45362)
Je n'ai pas trop de regret car, sans Wikipédia, je n'aurais jamais trouvé et ce problème insolite m'apprend toujours quelque chose – sauf la raison pour laquelle Clifford Alan Pickover a eu cette idée saugrenue
