A386. Les factorions A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFF). La somme peut être réduite à un seul terme et par convention 0! = 1.
Q1 Démontrer qu’en base 10 le nombre de factorions est fini.
Q2 Dresser la liste complète des N factorions en base 10.
Pour les plus courageux avec l’aide d’un automate :
Q3 Démontrer qu’il existe une base b < 10 dans laquelle il existe N factorions comme en base 10 et une base b >10 dans laquelle il existe N + 1 factorions.
Q4 Trouver une paire d’entiers distincts a et b appelés « factorions aimables » , telle que SFF(a) = b et SFF(b) = a.
Solution de Paul Voyer Q1
En base 10, un factorion de n chiffres ne peut pas dépasser n*9!
Un factorion de n chiffres est donc toujours compris entre 10n-1 et n*9!
Comme 107 est plus grand que 8×9! = 2 603 040, un factorion est toujours inférieur à 107. Leur nombre est donc fini
Q2
D'après http://oeis.org/A014080, il n'existe que 4 factorions en base 10 :
1 = 1!
2 = 2!
145 = 1! + 4! + 5! = 1+24+120
40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 24+1+120+40320+120 Q3
Base 6 : 1, 2, 25, 26 4 factorions
écrits 1, 2, 41, 42 en base 6 110 = 16 = 1!
210 = 26 = 2!
2510 = 416 = 4! + 1! = 2410 + 110 = 406 + 16
2610 = 426 = 4! + 2! = 2410 + 210 = 406 = 26
Base 11 : 1, 2, 26, 48, 40 472 5 factorions
écrits 1, 2, 24, 44, 28453 en base 11 110 = 111 = 1!
210 = 211 = 2!
2610 = 2411 = 2! + 4! = 210 = 2410 = 211 + 2211
4810 = 4411 = 4! + 4! = 2410 + 2410 = 2211 + 2211
4047210 = 284536 = 2!+8!+4!+5!+3! = 210 + 4032010 + 2410 + 12010 + 610
= 211 + 2832511 + 2211 + AA11 + 611 = 2845311
Q4
Les deux seules paires de factorions aimables distincts sont en décimal (871,45361) et (872, 45362)
871 = 8! + 7! + 1! = 40320 + 5040 + 1 = 45361
45361! = 4! + 5! + 3! + 6! + 1! = 24 + 120 + 6 + 720 + 1 = 871
872 = 8! + 7! + 2! = 40320 + 5040 + 2 = 45362
45362 = 4! + 5! + 3! + 6! + 2! = 24 + 120 + 6 + 720 + 2 = 872
