A5908. Concaténations à la chaîne * à ***
Q1 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation(1)de deux carrés parfaits >0. [*]
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de trois carrés parfaits >0. 0.2cm [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de quatre carrés parfaits >0. [***]
(1)Nota : Par exemple la concaténation de 1=12et de 36=62donne l’entier 136. Aucun carré parfait utilisé pour la concaténation, ne commence par un zéro.
Solution de Claude Felloneau
Q1 192=361 est obtenu par concaténation de 62=36 et 12=1.
En posantx0=19,y0=6 et pourn>1,xn+1=19xn+60ynetyn+1=6xn+19ynon a x2n+1−10yn2+1=361xn2+2·19·60xnyn+602yn2−10¡
36xn2+2·6·19xnyn+361yn2¢
=x2n−10yn2
donc pour toutn∈N,x2n−10yn2=192−10.62=1 d’oùxn2=10yn2+1.
Ainsixn2est obtenu par concaténation deyn2et de 12.
La suite (xn) étant strictement croissante et pour toutn∈Nxn2≡1 [10], donc il existe une infinité de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de deux carrés parfaits.
Q2 La concaténation de¡ 102n¢2
=102n, (2.10n)2=4.102net 22=4 donne an=4+4.102n.10+102n.102n+2 soitan=¡
2+102n+1¢2
. On aan≡4 [10].
Il existe donc une infinité de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de 3 carrés parfaits.
Q3D’aprèsQ1, 192=10.62+1 donc 382=10.122+4=1444.
Pour tout entiermassez grand,
¡10m+722¢2
=102m+1444.10m+521284=1 0...0
| {z }
m−4 chiffres
1444 0...0
| {z }
m−6 chiffres
521284
En prenantm=2n+6 oùn∈N, on observe que : bn=¡
102n+6+722¢2
est obtenu par concaténation des entiers 102n+2=¡
10n+1¢2
, 144=122, 4.102n=(2.10n)2 et 521284=7222. De plusbn≡4 [10].
Ce qui donne une infinité de carrés parfaits non divisibles par 10 obtenus par concaténation de 4 carrés parfaits.
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