A344. Carrément brésiliens
Un entier naturel n est appelé « brésilien»* s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
• Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Un nombre uniforme (chiffre a) s’écrit (en base b) :
= + + + ⋯ + = − 1 0 ≤ ≤ − 1 − 1
2 ≤ ≤ − 2 C’est donc un nombre composé, sauf, peut-être, si = 1 (par exemple 7 = 111). A contrario, les nombres premiers ne sont pas brésiliens, sauf, peut-être, si = 1. Si un nombre premier est brésilien, il s’écrit dans une certaine base avec des ‘1’.
Et aussi, 2 (pas de base correcte), 4 = 100, 6 = 110= 20= 12 ne sont pas brésiliens (contrainte ≤ − 2).
2014 = 2.19.53 = 2014 = + = ( + 1)
Il suffit de prendre, par exemple, = 2 et = 19.53 − 1 = 1006 et 2014 s’écrit 22 en base 1006, et est brésilien.
Et cela fonctionne pour tous les nombres composés (ou presque).
La calculatrice vérifie que 2011 et 2017, qui sont premiers et qui encadrent 2014, ne s’écrivent pas avec des ‘1’ dans une base <= 11. Donc, ils ne sont pas brésiliens.
• Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
Tous les nombres pairs sont composés, et tous sont donc brésiliens, à l’exception de 2, 4 et 6 (cf plus haut).
Ils s’écrivent avec des ‘2’ dans la base /2 − 1.
Il en existe 2014/2 − 3 = 1004, qui sont inférieurs ou égal à 2014.
• Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
7 = 111
13 = 111
• Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Soit = ' un nombre brésilien,
C’est bien un nombre composé ( = '. '), mais on ne peut pas l’écrire dans la base ' − 1, le chiffre serait alors ' > ' − 1 = . Il est donc nécessaire que ' soit lui-même composé (' = ). *) et alors = ). (*. ). *) s’écrit avec le chiffre ) dans la base ). *. * − 1. Les nombres (2+ + 1)(2, + 1) avec + -. , > 1, sont donc brésiliens.
Cependant il existe d’autres carrés impairs qui sont brésiliens : par exemple 121.
Il y a donc neuf carrés impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens.
= ' ' ' = ). * ). *. * = ). *. * − 1 en base écriture
81 9 3.3 3.3.3 26 3,3
121 11 exception 3 11111
225 15 3.5 3.5.5 74 3,3
441 21 3.7 3.7.7 146 3,3
625 25 5.5 5.5.5 124 5,5
729 27 3.9 3.9.9 242 3,3
1089 33 3.11 3.11.11 362 3,3
1225 35 5.7 5.7.7 244 5,5
1521 39 3.13 3.13.13 506 3,3
