Carrément brésiliens
Problème A344 de Diophante
Un entier naturel n est appelé « brésilien» s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Solution proposée par Pierre Jullien
Avant de répondre aux questions proprement dites :
Tout entier n (n>2) s'écrit 11 en base n-1. D'où la contrainte b < n-1 ci-dessus.
Parallèlement, tout entier n pair (n = 2k, k>3) s'écrit 22 en base k-1. Ainsi tous les nombres pairs (hormis 2) sont brésiliens.
Plus généralement, tout nombre n = p*q (1 < p < q) s'écrit pp en base q-1. C'est le cas de 15 qui s'écrit 33 en base 4.
Les nombres brésiliens sont donc très nombreux, parfois de plusieurs manières. Seul un doute s'installe pour les nombres premiers et leurs carrés. Au cas où un tel nombre est brésilien il ne s'écrit qu'avec des chiffres 1 ; il est de la forme (bk-1)/(b-1).
Réponses aux questions
Q₁ : 2014 est pair donc brésilien ; il en va de même de ses voisins immédiats 2013 (3*671), 2015 (5*403) ; de 2012 et 2016 pairs.
Par contre 2011 et 2017 sont premiers et ne peuvent pas s'écrire avec le seul chiffre 1 dans aucune base.
Q₂ : Pour k > 3, le nombre 2k s'écrit 22 en base k-1. Ainsi, hormis 2, 4 et 6, les 1004 nombres pairs de 8 à 2014 compris sont brésiliens.
Q₃ : 7 (111 en base 2) et 13 (111 en base 3) sont brésiliens ; 2, 3, 5 et 11 ne le sont pas.
Q₄ : Il s'agit des carrés des 21 nombres : 3, 5, 7, 9, … , 39, 41, 43 où seuls 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 et 43 sont premiers.
Seuls 121 (carré de onze) et les nombres composés au nombre de huit sont brésiliens.
En effet 121 s'écrit 11111 en base 3 et les nombres composés impairs sont de la forme n = p.q avec p < q – 1. En prenant la base q – 1, ces nombres s'écrivent pp avec n = p(q – 1) + p. Par exemple pour n = 15 = 3*5, on a p = 3, q = 5 et 15 s'écrit 33 en base 4.
Il y a donc au total 9 carrés parfaits impairs et brésiliens < 2014
