Première STG Chapitre 6 : inéquations. Page n ° 1 2007 2008
L'activité de comparaison est essentielle dans de nombreux domaines ; elle se réalise bien souvent par le recours de méthodes mathématiques qui mettent en jeu des comparaisons de nombres, de distances ou de fonctions.
Ces comparaisons engendrent elles-mêmes des égalités et des inégalités qui peuvent conduire à la résolution d'inéquations. Exemple de problème : Alain dit à sa fille Lola : " Tu as 6 ans et moi 45 ans ; tu iras seule au cinéma lorsque ton âge sera strictement supérieur au quart du mien. " Dans ce chapitre, nous allons partir d'énoncés pour en produire d'autres en utilisant des règles bien précises. En algèbre, on appelle inéquation une inégalité qui n'est satisfaite que pour certaines valeurs de la ou des inconnues.
1 Définitions et inéquations du type ax + b < 0.
a et b sont deux réels donnés.
Résoudre l'inéquation ax + b < 0, c'est trouver tous les nombres x tels que ax + b est strictement négatif.
Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l'inéquation.
A chaque fois que la consigne est " résoudre une inéquation " , il faut conclure à l'aide d'une phrase du type L'ensemble des solutions est [ … ].
Ou bien
L'inéquation n'a pas de solution.
Ajouter ( ou soustraire ) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas le sens de l’inégalité.
a < b ⇔ a + c < b + c a < b ⇔ a – d < b – d
Exemple : résoudre dans l'inéquation x + 5 < 7. Voir feuille annexe.
Multiplier ( ou diviser ) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif ne change pas le sens de l’inégalité.
a < b ⇔ a × c < b × c avec c > 0 a < b ⇔ a ÷ d < b ÷ d ⇔
d b d
a< avec d > 0
Exemple : résoudre dans l'inéquation 3x > 4. Voir feuille annexe.
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Multiplier ( ou diviser ) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.
a < b ⇔ a × c > b × c avec c < 0 a < b ⇔ a ÷ d > b ÷ d ⇔
d b d
a > avec d < 0
Exemple : résoudre dans l'inéquation - 4x ≤ 5. Voir feuille annexe.
Cas particuliers : a = 0. ( ax + b < 0 ).
Si b < 0 alors l'ensemble des solutions est . Si b > 0, alors l'inéquation n'a pas de solution.
Exemple : résoudre dans l'inéquation -3x + 5 ≥ 7.Voir feuille annexe.
E1 Savoir résoudre des inéquations du type ax + b < 0.
a ) 2x + 3 < 0 b ) -3x + 4 > 0 c ) 8x + 3 < 10x − 1
d ) -3x + 1 ≥ 2x + 4 e )
4 x 3+ ≤
2
x−1 f ) 1
6− x 3 ≥ 1
2 − x 2 g ) 3 − 2x ≤ 5x − 1 h ) 7 − 3x < 2 − 5x.
2 Signe de ax + b.
Soient a et b deux nombres réels avec a non nul.
Méthode pour faire le tableau de signes d'une expression du type ax + b.
1 ) Je résous ax + b = 0.
2 ) Je construis un tableau avec en première ligne la valeur de x trouvée au 1 ) et − ∞ et + ∞.
3 ) En deuxième ligne, je place le zéro puis dans la colonne à droite du zéro, je mets le signe de a.
4 ) En deuxième ligne, dans la colonne à gauche du zéro, je mets le signe contraire de a.
x −∞ - b
a +∞
ax + b signe de - a 0 signe de a
Exemple : faire le tableau de signes de - 5x – 4. Voir feuille annexe.
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E2 Etudes de signes.
1 ° Faire le tableau de signes de 7 − 2x.
2 ° Faire le tableau de signes de x 3 + 3.
3 ° Faire le tableau de signes de 0,5x − 3.
4 ° Faire le tableau de signes de - 3 x − 7.
3 Signe d’un produit.
Règle des signes
Lorsque deux nombres sont de même signe, alors leur produit est positif.
Lorsque deux nombres sont de signes contraires, alors leur produit est négatif.
Le but de ce paragraphe est d'étudier le signe d'une expression produit du type P ( x ) = ( ax + b ) ( cx + d ) en fonction des valeurs de x.
Méthode :
1 ) Résoudre P ( x ) = 0.
2 ) Construire un tableau avec en première ligne les différentes valeurs de x trouvées au 1 ) 3 ) En deuxième ligne de ce tableau établir le signe de la première expression ( ax + b ) 4 ) En troisième ligne de ce tableau établir le signe de la deuxième expression ( cx + d )
5 ) En dernière ligne établir le signe du produit à l'aide de la règle des signes que l'on utilise en colonnes.
6 ) Conclure.
Exemple : résoudre dans l'inéquation ( x + 7 ) ( -x + 11 ) ≤ 0. Voir feuille annexe.
E3 Savoir résoudre des inéquations produit.
Résoudre dans les inéquations suivantes :
a ) ( 2x + 1 ) ( -5x + 2 ) < 0 b ) ( 7 − 3x ) ( x + 4 ) ≥ 0 c ) ( -x − 2
3 ) ( -x − 5
6 ) ≤ 0 d ) ( 7x − 6 ) ( 9x − 8 ) > 0.
4 Signe d’un quotient.
Règle des signes Lorsque deux nombres sont de même signe, alors leur quotient est positif.
Lorsque deux nombres sont de signes contraires, alors leur quotient est négatif.
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Le but de ce paragraphe est d'étudier le signe d'une fonction quotient du type Q ( x ) = d cx
b ax++ en fonction des valeurs de x.
Méthode :
1 ) Résoudre Q ( x ) = 0.
2 ) Construire un tableau avec en première ligne les différentes valeurs de x trouvées au 1 ) 3 ) En deuxième ligne de ce tableau établir le signe de la première expression ( ax + b ) 4 ) En troisième ligne de ce tableau établir le signe de la deuxième expression ( cx + d )
5 ) En dernière ligne établir le signe du quotient à l'aide de la règle des signes que l'on utilise en colonnes.
Ne pas oublier une double barre pour la valeur de x qui n'admet pas d'image par Q.
6 ) Conclure.
Exemple : résoudre dans l'inéquation 5 x 4
3 x
2 ++ ≤ 0. Voir feuille annexe.
E4 Savoir résoudre des inéquations quotient.
Résoudre dans les inéquations suivantes :
a ) x 5
x 2
8−+ ≥ 0 b )
1 x
x 5
2+− > 0 c )
5 x 3
7 x
3 ++ < 0 d )
2 x 5
11 x
5 −− ≥ 0.
5 Méthode pour résoudre toutes les inéquations.
1 ) J'obtiens un membre nul.
2 ) J'écris le membre non nul sous la forme d'un produit de facteurs ( cad je factorise le membre non nul ) ou bien je le réduis au même dénominateur s'il s'agit d'un quotient de facteurs.
3 ) Je résous P ( x ) = 0 ou bien Q ( x ) = 0 4 ) Je remplis un tableau de signes.
5 ) J'écris la phrase conclusion.
Exemple : résoudre dans l'inéquation x
2 ≤ 1. Voir feuille annexe.
E5 Savoir résoudre tous types d'inéquations.
a ) ( 2x + 3 )² − 4 ≤ 0 b ) x ( x + 2 ) − 5 ( x + 2 ) < 0 c ) ( x − 3 )² > ( 1 − 2x )².
