NOM : ENONCE FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice 1
On a résolu un système d’inéquations à une inconnue x et on a obtenu, sans erreur, le système suivant :
11x 3 0 (1) 7x 2 0 (2) 1 3x 0 (3)
+ >
− + ≥
− >
. 1) Dire que x est solution d’une des
inéquations de ce système est
équivalent à dire que x appartient à un certain intervalle.
Ecrire l’intervalle concerné pour chacune des inéquations.
Inéquation (1) : Inéquation (2) : Inéquation (3) :
2) Sur l’axe ci-dessous, dessiner avec le codage usuel (et en décalant légèrement les couleurs), l’intervalle associé à l’inéquation (1) en rouge, l’intervalle associé à l’inéquation (2) en vert, l’intervalle associé à l’inéquation (3) en bleu.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––→
3) Ecrire alors l’ensemble des solutions du système sous la forme d’un intervalle.
Exercice 2
Un nombre a est tel que -5 < a < -2. Il s’agit de trouver un encadrement de
7 a 2 3 2a
3 2 a 3
− + −
.
Ce qui suit est une façon de répondre, qui reste cependant, ici, à compléter (résultats ou « les » énoncés mathématiques tels que définitions, propriétés, règles ou théorèmes).
Compléter le schéma ci-dessous et la colonne à sa droite.
-5 < a < -2
(1) (2) (3) ...….. a
2 …….. …….. 1
a …….. ...…… 2a
− 3 ……..
(4) (5) ...…..
a 2
2
…….. …….. 3 a ……..
(6)
...…..
7 a 2
3 2
− ……..
(7) ...…..
7 a 2 3 2a
3 2 a 3
− + − ……..
Enoncés mathématiques utilisés (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Exercice 3
Si a et b sont deux nombres strictement positifs tels que a < b, peut-on affirmer que a 1 a
b 1 b
+ >
+ ? Justifier la réponse (au dos de cette feuille en cas de besoin).
Eléments pour un corrigé Exercice 1
On a résolu un système d’inéquations à une inconnue x et on a obtenu, sans erreur, le système suivant :
11x 3 0 (1) 7x 2 0 (2) 1 3x 0 (3)
+ >
− + ≥
− >
. 1) Dire que x est solution d’une des inéquations de ce
système est équivalent à dire que x appartient à un certain intervalle.
Ecrire l’intervalle concerné pour chacune des inéquations.
Inéquation (1) : 3 ; 11
− + ∞
; Inéquation (2) : ;2 7
−∞
Inéquation (3) : ;1 3
−∞
2) Sur l’axe ci-dessous, dessiner avec le codage usuel (et en décalant légèrement les couleurs), l’intervalle associé à l’inéquation (1) en rouge, l’intervalle associé à l’inéquation (2) en vert, l’intervalle associé à l’inéquation (3) en bleu.
]–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––→
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––→
3
−11 2 7 1
3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––]
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––[
3) Ecrire alors l’ensemble des solutions du système sous la
forme d’un intervalle. −11 73 2;
Exercice 2
Un nombre a est tel que -5 < a < -2. Il s’agit de trouver un encadrement de
7 a 2 3 2a
3 2 a 3
− + − .
Ce qui suit est une façon de répondre, qui reste cependant, ici, à compléter (résultats ou « les » énoncés mathématiques tels que définitions, propriétés, règles ou théorèmes).
Compléter le schéma ci-dessous et la colonne à sa droite.
-5 < a < -2
(1) (2) (3) 5
2
− < a
2 < -1 1
−5 > 1 a > 1
−2 10 3 > 2a
− 3 > 4 3 (4) (5)
25 4 >
a 2
2
> 1 3
−5 > 3 a > 3
−2 (6)
175
−12 <
7 a 2
3 2
− < 7
−3
(7) 59
− 4 <
7 a 2 3 2a
3 2 a 3
− + −
< 2
5 (*)
(*) il n’y avait aucune obligation sur le fait « d’effectuer » les calculs.
Enoncés mathématiques utilisés (par exemple) (1) D : a < b < c signifie a < b et b < c
R : th. usuels de calculs sur les fractions R1 : si a ≠ 0 alors a et 1/a ont même signe R2 : si a < b et c > 0 alors a/c < b/c si a < b et c > 0 alors ac < bc (2) D et R
R3 : si a < b < 0 alors 1/a > 1/b (3) D et R
R4 : si a < b et c < 0 alors a/c > b/c si a < b et c < 0 alors ac > bc (4) D et R
R5 : si a < b < 0 alors a2 > b2 (5) D et R
R2 (6) D et R
R4 (7) D et R
N.B. : a – b = a + (-b)
R6 : si a < b et c < d alors a + c < b + d
Eléments pour un corrigé Exercice 3
Si a et b sont deux nombres strictement positifs tels que a < b, peut-on affirmer que a 1 a b 1 b + >
+ ? Justifier la réponse (au dos de cette feuille en cas de besoin).
Méthode utilisée : étude du signe d’une différence.
a 1 a b a
b 1 b b(b 1)
+ −
+ − = + (R1 et R2)
a < b 0 < b (D) (R3) 0 < b – a 0 < 1 < b + 1
(R4) b a
b(b 1) 0
− >
+
(D) a 1 a
b 1 b + >
+
R1 : avec b et c non nuls, a ac b= bc R2 : avec b non nul, a c a c
b b b
+ = + D : définition de a < b
R3 : si a < b alors a + c < b + c
R4 : règle des signes pour la multiplication et si a ≠ 0 alors a et 1/a ont même signe et (avec b non nul) a a 1
b = ×b
