A344. Carrément brésiliens
Un entier naturel n est appelé « brésilien»* s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.₁ Q : Combien y a-t-il de nombres pairs₂ ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
Q : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.₃ Q : Combien y a-t-il de₄ carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
*En souvenir du 2ème problème de la 9ème « Olympiada Iberoamericana de Matematica » de Fortaleza en 1994.
Q1) 2014 = 2*19*53 a pour diviseurs 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.
Aucun de ces diviseurs n'est de la forme (bk – 1)/(b – 1) pour k >2, donc la représentation cherchée comporte 2 chiffres.
2014 s'écrit xx en base b dans les cas suivants :
b 52 105 1006
Chiffre x Symbole (38) Symbole (19) 2
Si un nombre n > 6 est composé, mais n'est pas le carré d'un nombre premier, on peut toujours trouver x et y tels que n =x*y avec x< y-1 , n s'écrit alors xx en base b = (y-1).
Les nombres premiers les plus proches de 2014 sont 2011 et 2017.
2011 et 2017 ne sont pas de la forme (bk – 1)/(b – 1), ne peuvent pas s'écrire avec uniformément des chiffres 1.
Dans l'intervalle [2012, 2016] il n'y a aucun nombre qui soit le carré d'un nombre premier.
2011 et 2017 sont les non-brésiliens les plus proches de 2014.
Q2) 2, 4 et 6 ne sont pas brésiliens. 8 s'écrit 22 en base 3. 10 s'écrit 22 en base 4.
Pour p>3, le nombre 2p s'écrit 22 en base b = p-1.
Il n'y a que 3 nombres pairs ≤ 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Il y a 1007 – 3 = 1004 nombres pairs brésiliens ≤ 2014 .
Q3) Un nombre premier n est brésilien ssi il existe une base b dans laquelle l'écriture de n ne comporte que des chiffres 1.
Si n = 1+b+b² on trouve avec b=2 n=7 et avec b=3 n=13 , 7 et 13 sont premiers.
n = 1+b+b²+b3 = (1+b)(1+b²) n'est jamais premier.
Si n = 1+b+b²+b3+b4 avec b=2 on trouve n=31 qui est premier mais > 13 Les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens sont 7 et 13.
Q4) La partie entière de √2014 est 44. De 3 à 43 on trouve 21 nombres impairs dont 13 nombres premiers et 8 nombres composés. Les carrés des 8 nombres composés sont brésiliens :
x 9 15 21 25 27 33 35 39
x² 81 225 441 625 729 1089 1225 1521
En base 26 44 146 124 242 362 244 506
S'écrit : 33 55 33 55 33 33 55 33
Parmi les carrés des 13 nombres premiers, seul 11² = 121 est de la forme (bk – 1)/(b – 1) : 121 = (35 – 1)/2, il s'écrit 11111 en base 3.
Il y a donc 9 carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens .
