UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2010.
LM 372. 21 juin 2010. Examen.
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1.
Soit A un anneau principal et soient M1 =a1A, ...,Mr=arA⊂A des id´eaux maximaux deux `a deux distincts.
1) Montrez que S ={b∈A tel que b /∈ Mi pour i= 1, ..., r} est une partie multiplicativement stable deA.
2) Montrez qu’un ´el´ement m/s∈S−1A est inversible dansS−1A si et seulement sim∈S.
Dans la suite du probl`eme, on supposer= 2. Autrement dit, S={b∈A tel queb /∈ M1∪ M2}.
3) Montrez que tout ´el´ement deS−1Aa une d´ecomposition unique de la forme (a1/1)n1(a2/1)n2u, o`un1 etn2 sont des entiers positifs ou nuls et uun ´el´ement inversible de S−1A.
4) Montrez que a1/1 et a2/1 sont des ´el´ements irr´eductibles de l’anneau principalS−1A (rappelez ce qu’est un ´el´ement irr´eductible dans un anneau int`egre).
5) Montrez que (a1/1)S−1A et (a2/1)S−1Asont les seuls id´eaux maximaux de S−1A.
D´eduisez en que (n1, n2) → (a1/1)n1(a2/1)n2S−1A est une bijection entre N2 et l’ensemble des id´eaux non nuls de S−1A
Exercice 2.
Soit A un anneau principal. On consid`ere 3 id´eaux maximaux (deux `a deux distincts) M1 =aA, M2 =bA et M3 =cA
de l’anneauA.
D´ecrivez, `a isomorphisme pr`es, tous lesA-modules de longueur 4 et annul´es par abc3. Exercice 3.
Soit E un C-espace vectoriel de rang (dimension) 5.
On se donne une base (e1, e2, ..., e5) de E et un endomorphismeu de E, d´efini par u(ei) =ei pour iimpair,
u(ei) =ei+ei+1 pouri pair.
1) Calculez le polynˆome caract´eristique de u.
2) D´eterminez le polynˆome minimal deu.
3) Donnez les facteurs invariants deu.
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