A572 – Des carrés plus que parfaits [**** à la main]
Démontrer qu’il existe une infinité de carrés parfaits dont la somme des chiffres comme le produit des chiffres sont l’un et l’autre des carrés parfaits non nuls.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
En préambule : en dehors de 2 et 3 , tous les nombres premiers sont de la forme 6n ± 1 . On peut ainsi démontrer que leur carré est de la forme p² = 24N + 1 .
Maintenant , pour que S et P soient des carrés parfaits non nuls, le chiffre 0 est à exclure , puisqu'il annule P .
En prenant cette famille de nombres :
661 , 66661 , 6666661 , 666666661 ... en fonction du nombre de paires de 6 , on donne le rang correspondant U₁ , U₂ , U₃ .... UN
U₁ = 661 ---> 661² = 436921 ---> S = 5² = 25 = 0 x 24 + 25 et P = 36² . Nota : on retrouvera toujours ces chiffres 436921 dont la somme vaut 25 ; et N sera le nombre de paires de 6 dans l'écriture de 6666...6661 .
U₂ = 66661 ---> 66661² = 4443688921 ---> S = 1 x 24 + 25 = 49 & P = 1152² . n = 1 = N – 1
U₅ = 66666666661 --> U5² = 4444444443688888888921 ---> S = 4 x 24 + 25 = 121 ; P = 9 x 6² x 4 x 32^8
U₇ = 666666666666661 ---> U7² = 444444444444436888888888888921 ---> S = 6 x 24 + 25 = 169 ...
UN = (6666.. n paires .. 6666) ² = 4444.. N-1 paires .. 44444368888.. N-1 paires .. 8888921 avec SN = (N – 1) x 24 + 25
p² = 24 N + 1 = 24 n + 25 donne pour les carrés de 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23
5² = 25 = 0 x 24 +25 ; 7² = 49 = 1 x 24 + 25 ; 11² = 121 = 4 x 24 + 25 ; 13² = 169 = 6 x 24 +25 ; 17 = 289 = 11 x 24 + 25 ; 19² = 14 x 24 + 25 ; 23² = 21 x 24 + 25 .
avec les valeurs n correspondantes ( 0 , 1 , 4 , 6 , 11 , 14 , 21 ... ) et les valeurs N = n + 1 (1 , 2 , 5 , 7 , 12 , 15 , 22...)
Par conséquent , tous les nombres de la forme 66...661 possèdant N = n + 1 (1 , 2 , 5 , 7 , 12 , 15 , 22...) paires de 6 , ont des carrés 66..661² tels que :
S et P sont des carrés parfaits . Il y en a une infinité puisque les nombres premiers sont indénombrables .
