A1752 ‒ Pioché dans un manuscrit de Fermat [** et *** à la main]
Q₁[**] Si l’on ajoute 1 à ce nombre premier p et à son carré p², on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer p et prouver qu’il est unique.
Déterminer le plus petit entier a > 1 qui donne les doubles de deux carrés parfaits lorsqu’il est ajouté à un nombre premier q et à son carré q².
Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable d’entiers positifs distincts tels que chacun d’eux ajouté à un nombre premier et à son carré donne les doubles de deux carrés parfaits.
Q₂ [***] Si l’on ajoute 1 à cet entier positif n > 1 et à son carré n², on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer les valeurs possibles de n … comme l’a fait Fermat.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
p=7
1+7 = 2*2² 1+7² = 2*5²
N'ayant pas trouvé de preuve élémentaire à ce stade, voir Q2 pour l'unicité.
Le plus petit a>1 est a=7 avec : 7+11 = 2*3²
7+11² = 2*8²
Les équations 2y²-p² = 2, 3, 4, 5 ou 6 n'ont pas de solution.
Pour les cas pairs, p²=0 (mod 2) nécessite p=2 mais alors 6 = 2+2² = 2+4 ou 10 = 2²+6 ne sont pas de la forme 2z².
Pour les cas impairs, il suffit de raisonner ainsi :
2y²-p² = 3 (mod 3) => p² = -y² (mod 3) => p=y=0 (mod 3) (car un carré est congru à 0 ou 1 mod 3) => p=3 mais 12 = 3+3² n'est pas de la forme 2z²
2y²-p² = 5 (mod 5) => p² = 2y² (mod 5) => p=y=0 (mod 5) (car un carré est congru à -1, 0, 1 mod 5) => p=5 mais 30 = 5+5² n'est pas de la forme 2z²
Pour k>=2
a = 2k(k-2)+1 p = 4k-1 x=k y=3k-1
2k(k-2)+1 + 4k-1 = 2k²
2k(k-2)+1 + (4k-1)² = 2(3k-1)²
Le résultat découle alors de l'infinité des entiers premiers de la forme 4k-1.
Preuve : par l'absurde on suppose qu'il existe un nombre fini d'entiers premiers de cette forme.
Soit P leur produit et Q=4P-1.
Si tous les facteurs premiers de Q étaient de la forme 4k+1, alors leur produit le serait aussi : contradiction.
Il existe donc un facteur premier q de Q de la forme 4k-1.
Pour tout p de P, Q=-1 (mod p).
Contradiction puisque nous aurions alors un nouveau facteur premier de la forme 4k-1.
Remarque : pour parvenir à cette famille, je suis passé par a+p=2x² et a+p²=2y², d'où a+(2x²-a)²=2y², ou encore a²+a(1-4x²)+2(2x^4-y²)=0 de discriminant d = (1-4x²)² - 8(2x^4-y²) = 8(y²-x²)+1
Me rappelant que 8Tn+1 = (2n+1)² où Tn = n(n+1)/2, j'ai posé y-x=n/2 et x+y=n+1, d'où y=(3n+2)/4 et x=(n+2)/4 nécessitant n=4k-2. Puis j'ai choisi la racine a = (-1+4x² - (2n+1))/2 = 2k²-4k+1
Q2
Voir http://www.numdam.org/article/NAM_1883_3_2__306_1.pdf
