il existe une infinité de termes vérifiant les conditions du problème

A572. Des carrés plus que parfaits ***

Démontrer qu’il existe une infinité de carrés parfaits dont la somme des chiffres comme le produit des chiffres sont des carrés parfaits non nuls.

Idée (Amarnath Murthy) :

Montrer que dans la suite 969² 9669² 96669² ... il existe une infinité de termes vérifiant les conditions du problème.

Pour cela :

1) Montrer que (96. ...69)² = 934. ...4895...561 6 répété n fois 4 répété (n−1) fois 5 répété (n−1) fois

2) La somme vaut 9n+27 3) Le produit vaut 108²⋅20⁽ⁿ⁻¹⁾

4) Si l'on choisit n=4m²−3 alors la somme vaut 36 m^2 qui est un carré

le produit vaut 108²⋅20^(4m−4) qui est un carré 5) En faisant varier m , on obtient une infinité de nombres vérifiant les conditions du

problème

Démonstration :

Les points 2),3),4) et 5) découlent immédiatement du point 1)

Pour le point 1) ci-dessous la démonstration de En gros : si N = (96. ...69)² alors N²=1

9⋅(841⋅10²ⁿ⁺²+406⋅10ⁿ⁺¹+49) et si N ' = 934. ...4895...561 alors N ' = 1

9⋅(841⋅10²ⁿ⁺²+406⋅10ⁿ⁺¹+49) = N²

avec 6 répété n fois, 4 répété (n−1) fois et 5 répété (n−1) fois

Démonstration complète du point 1) par