Enoncé A377 (Diophante)
Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci :
F1 =F2 = 1 et si n≥3,Fn=Fn−1+Fn−2.
Q1. Trouver tous les nombres entiers italiens inférieurs à 200.
Q2. Quel est le rationnel italien le plus proche de 2019 ?
Q3. Montrer que dans la suite des entiers naturels, il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs qui sont tous deux des nombres italiens.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Rappelons la suite de Lucas, qui suit la même récurrence que Fibonacci : L0= 2, L1= 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199 =L11, . . .
Notant ϕ le nombre d’or (1 +√
5)/2, on sait que Ln = ϕn + (1−ϕ)n, Fn= (ϕn−(1−ϕ)n)/√
5, d’où
(∗) FaLb−Fa+b = (−1)bFa−b si a > b, ou (−1)a+1Fb−a sia < b; puis Fm =FnLm−n±Fm−2n.
Ainsi, modulo Fn,Fm=±Fm−2n=. . .=±Fmmod (2n).
Pour que le nombre italien Fm/Fn soit un entier, il faut et il suffit que mmod (2n) soit 0 oun, donc quem soit multiple de n.
CommeFm/Fnest voisin deϕm−netLm−n, les entiers italiens<200 sont fournis par les rapports Fnk/Fn pour n(k−1)≤12.
Pour n= 2,F2= 1 et on retrouve la suite de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 =F12.
Pour k= 2,n= 3 à 11, les rapports sont les nombres de Lucas de 4 à 199.
Pour k= 3,n= 3 à 5, les rapports sont 17, 48, 122.
Pour k= 4,n= 3 et le rapport est 72.
D’où la liste 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 13, 17, 18, 21, 29, 34, 47, 48, 55, 72, 76, 89, 122, 123, 144, 199 (23 entiers).
Question 2
On a L15= 1364<2019<2207 =L16. Le rationnel Fm/Fn cherché est à trouver parmi lesFn+15/Fn etFn+16/Fn.
Le calcul sur tableur de ces rapports pourn≥2 montre que Fn+15/Fn≤1597 =F17/F2 et queFn+16/Fn≥4181/2 =F19/F3.
C’est cette dernière valeur (2090,5) qui est le rationnel italien le plus proche de 2019.
Question 3
Dans la liste de la question 1, on remarque que les nombres de Lucas de rang pair (7, 18, 47, 123) sont accompagnés par des entiers en différant de 1 (8, 17, 48, 122).
De manière générale,Ln=F2n/Fn.
Le cask= 3 de la question 1, qui fournit les valeurs contiguës des nombres de Lucas, conduit d’après (∗) àFnL2n−F3n= (−1)n+1Fn, et
F3n/Fn=L2n+ (−1)n.
Cela montre queL4n+ 1 =F6n/F2n etL4n+2−1 =F6n+3/F2n+1 sont des nombres italiens, de même queL4n=F8n/F4n etL4n+2=F8n+4/F4n+2. D’où les paires{L4n, L4n+ 1}et {L4n+2−1, L4n+2} d’entiers consécutifs qui sont des nombres italiens, en nombre infini.
