Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFC).
La somme peut être réduite à un seul terme et par convention 0 ! = 1.
Q₁ Démontrer qu’en base 10 le nombre de factorions est fini.
Q₂ Dresser la liste complète des N factorions en base 10 Pour les plus courageux avec l’aide d’un automate:
Q₃ Démontrer qu’il existe une base b < 10 dans laquelle il existe N factorions comme en base 10 et une base b >10 dans laquelle il existe N + 1 factorions.
Q₄ Trouver une paire d’entiers distincts a et b appelés « factorions aimables » , telle que SFC(a) = b et SFC(b) = a.
Q1 : Nous avons 9!=362880, donc la somme des factorielles d’un nombre de k chiffres (k≥8) sera inférieure ou égale à k*9!<10k-1 : en base 10 aucun factorion ne peut avoir 8 chiffres ou plus ; étant tous finis, ils sont en nombre fini.
Q2 : 1!=1, 2!=2 ; pas de factorion à 2 chiffres ; 1!+4!+5!=1+24+120=145 ; 4!+0!+5!+8!+5!=24+1+120+40320+120=40585
Q3 : En base 6, il y a 4 factorions : 1, 2, 41 (soit 25 en base 10) et 42 (26 en base 10) ; en base 11, il y en a 5 : écrits en base 10 : 1, 2, 26=2*11+4=2+24, 48=4*11+4=24+24, 40472=2*114+8*113+4*112+5*11+3=2+40320+24+120+6.
Il y en a 5 également dans d’autres bases (17 par exemple)
Q4 : En base 10, SFC(871)=40320+5040+1=45361, SFC(45361)=24+120+6+720+1=871 et SFC(872)=40320+5040+2=45362, SFC(45362)=24+120+6+720+2=872.
Signalons qu’en base 4, SFC(3)=12 et SFC(12)=3, ce qui est quand même plus simple!
