A386 . les factorions
Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFF). La somme peut être réduite à un seul terme et par convention 0! = 1.
Q1 Démontrer qu’en base 10 le nombre de factorions est fini.
Q2 Dresser la liste complète des N factorions en base 10 Pour les plus courageux avec l’aide d’un automate:
Q3 Démontrer qu’il existe une base b < 10 dans laquelle il existe N factorions comme en base 10 et une base b >10 dans laquelle il existe N + 1 factorions.
Q4 Trouver une paire d’entiers distincts a et b appelés « factorions aimables » , telle que SFF(a) = b et SFF(b) = a.
Solution proposée par Nicolas Petroff
(Q1) En base 10 : soit , si N = N doit comporter au moins 28 chiffres = 9 : ce qui est absurde + généralement : si , plus n augmente au delà de 8 , plus l’existence de factorions est impossible le nombre de factorions est limité.
(Q2) Examinons les nombres N : en commençant avec les nombres à un chiffre : les seuls factorions à 1 chiffre sont 1 et 2.
Puis en faisant varier n entre 1 et 7.
n = 1 : factorions à 2 chiffres ?
- Soit , N = 10 , si N = : ce qui est impossible.
- Soit , N = 20 , si N = N = 2 ! + 4 ! = 26 , ne convient pas.
- Soit , N = 30 , si N = N = 3 ! + 4 ! = 30 , ne convient pas.
- Soit , N = 40 , si N = N = 4 ! + 3 ! < 40 ne convient pas.
- Soit , N = 50 , si N = N = 5 ! + > 60 ne convient pas.
- Si N = 10 avec , il n’y a pas de solution il n’y a pas de factorions à 2 chiffres .
n = 2 : factorions à 3 chiffres ? Soit N = .
- Soit et si N = 99 198 , un N = 1 ! + 5 ! + x ! = 121 + x ! avec x : la seule solution stable par l’opération SFF est x = 4 N = 145 = 1 ! + 4 ! + 5 ! .
- Soit 297, deux N = 2 ! + 5 ! + 5 ! = 242 255 ne convient pas.
- Soit 393 N = 3 ! + 5 ! + 5 ! = 246 < 300 ne convient pas.
- Soit 475 N = 4 ! + x ! + y ! avec x et y [0,5]
ne convient pas.
- Soit 479 N = 5 ! + x ! + y ! avec x et y [0,5]
ne convient pas.
- Soit -21 : absurde !
- Mêmes impossibilités avec le seul factorion à 3 chiffres est 145 . n = 3 : factorions à 4 chiffres ?
Soit N = .
- Soit 1998 un et deux N = 1 ! + 6 ! + 2 = 961 < 1000 ne convient pas .
- Soit 2997 N = 2 ! + 3 = 2162 Ne convient pas .
- Soit 3993 N = 3 ! + 3 ! = 2166 < 3000 Ne convient pas.
- Soit 4975 N = 4 ! + 3 ! = 2184 < 4000 Ne convient pas.
- Soit 5879 parmi les restants, il en existe un égal à 7 N est composé de (5,7,x,y) x ! + y ! 839
soit x = 6 et y [0,4] , mais alors aucune solution ne convient pas (la stabilité par l’opération SFF n’est pas respectée) ,
soit x et y [0,5] et là aussi aucune solution ne convient encore : on obtient en effet les nombres 5162, 5163, 5164, 5167, 5172, 5304, 5400, 6000, 6600 qui ne sont pas stables par l’opération SFF.
- Soit 6279 un des N est composé de (6,7,x,y) x ! + y ! 519 avec x et y [0,5] 15 combinaisons possibles et parmi ces 15 Combinaisons, seules 4 d’entre-elles produisent des nombres intéressants : N = 5762, 5763, 5764, 5767, 5772 qui ne sont pas stables par l’opération SFF, donc ne conviennent pas.
- Soit 2959 : absurde . - Soit -31321 : absurde.
- Même impossibilité pour Il n’y a pas de factorions à 4 chiffres.
n = 4 : factorions à 5 chiffres ? Soit N = .
- Soit 19998 il existe encore au moins deux des N serait composé de (1,7,7,x,y) N = 10081 + x ! + y ! . Mais si N est stable par l’opération SFF, N = 1 ! + 2
Ne convient pas.
- Soit 29997 il existe encore au moins 4
N serait composé de (2,7,7,7,7) . Mais par l’opération SFF, on obtient 20162 27777 ne convient pas.
- Soit 39993 il existe encore au moins 6 ne convient pas.
- Soit 49975 N serait composé de (4,8,x,y,z)
par SFF , N = , avec (x,y,z) . Un automate Excel permet d’obtenir une solution stable par l’opération SFF : N = 40585 .
- Soit 59879 il existe encore au moins un et deux N serait composé de (5,8,7,7,x) avec x . Mais en appliquant l’opération SFF avec les différentes valeurs de x, aucune n’est stable ne convient pas.
- Soit 69279 il existe encore au moins un et quatre ne convient pas.
- Soit 74959 N devrait être composé d’un = 8 et d’au moins 6 , ce qui est absurde.
- Soit 89999 N devrait être composé de (8,8,x,y,z) avec (x,y,z) 80640 + x ! + y ! + z ! : Un automate Excel ne permet pas de trouver un factorion.
- Soit donc ne convient pas.
Il n’existe qu’un seul factorion à 5 chiffres : N = 40585
n = 5 : factorions à 6 chiffres ? Soit N = .
- Soit 199998 N serait composé de (1,8,8,x,y,z) 19359 x ! + y ! + z ! x = y = z = 7 N composé de (1,8,8,7,7,7) N = 95761 < 100000 ne convient pas.
- Soit 299997 N serait composé de (2,8,8,8,8,8) N = = 201602 et si on applique à nouveau l’opération SFF : SFF(201602) = 727 ne convient pas.
- Soit 399993 il existe encore au moins un N serait composé de (3,9,x,y,z,t) avec (x,y,z,t) [0,8] . Un automate Excel ne trouve pas de solution de factorion à 6 chiffres dont 2 de ses chiffres sont 3 et 9.
- Soit 499975 N serait composé de (4,9,8,y,z,t) y ! + z ! + t ! 96775 . Un automate Excel ne trouve pas de solution de factorion à 6 chiffres dont 3 de ses chiffres sont 4,9 et 8.
- Soit 599879 parmi les restants un 9 et 4 chiffres = 8 5 ! + 9 ! + 4 = 524280 : ce nombre n’est pas stable par SFF ne
convient pas.
- Soit 699279 parmi les restants un 9 et 6 chiffres = 8 : absurde ne convient pas.
- Soit 794959 parmi les restants deux 9
N serait composé de (7,9,9,x,y,z) . Un automate Excel ne trouve pas de solution de factorion à 6 chiffres dont 3 de ses chiffres sont 7,9 et 9.
- Soit 859679 N serait composé de
(8,9,9,8,8,x) avec x [0,8] N = 846720 + x ! Mais aucune des valeurs de x ne convient.
- Soit 637119 N serait composé de
(9,9,9,x,y,z) N = 1088640 + x ! + y ! + z ! . Un automate Excel ne trouve pas de solution de factorion à 6 chiffres dont 3 de ses chiffres sont des 9.
Il n’existe pas de factorions à 6 chiffres .
n = 6 : factorions à 7 chiffres ? Soit N = .
- Soit 1999998 N serait composé de
(1,9,9,9,x,y,z) . Un automate Excel ne trouve pas de solution de factorion à 7 chiffres dont 1 chiffre est un 1 et trois de ses chiffres sont des 9.
- Soit 2999997 N serait composé de (1,9,9,9,9,9,9) qui n’est pas stable par l’opération SFF ne convient pas .
- Au-delà de il n’y a pas de solution.
Il n’existe pas de factorions à 7 chiffres
En base 10, les seuls factorions sont donc : 1, 2, 145, 40585.
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