Les chiffres utilisables sont donc 1, 3, 7, 9

Enonc´e n^oA320 (Diophante, probl`emes ouverts) Absolument premiers

Un nombre premier est dit “absolu” (NPA) si toute permutation de ses chiffres donne aussi un nombre premier (par exemple 13 et sa permutation 31).

Q1 : D´emontrer qu’un NPA ne comporte jamais quatre chiffres distincts ou plus ni trois fois le chiffre xet deux fois le chiffre y, avec x6=y.

Q2 : Pour les plus audacieux : d´emontrer qu’un NPA a au plus deux chiffres distincts.

Q3 : D´enombrer les NPA inf´erieurs `a 10¹⁵. Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1

1.a) Nombres utilisant 4 chiffres distincts

Aucun des chiffres 0, 2, 4, 5, 6, 8 ne peut figurer dans un NPA car comme chiffre des unit´es il entraˆınerait la divisibilit´e par 2 ou 5. Les chiffres utilisables sont donc 1, 3, 7, 9.

Si ces 4 chiffres figurent en nombre pair, une permutation multiple de 11 s’obtient en ´ecrivant ces chiffres dans l’ordre : tous les chiffres 1, puis tous les chiffres 3, tous les chiffres 7 et tous les chiffres 9.

Si ces 4 chiffres figurent en nombre impair, une permutation multiple de 11 s’obtient en ´ecrivant ces chiffres dans l’ordre : tous les chiffres 1 sauf un, tous les chiffres 3 sauf un, tous les chiffres 7 sauf un et tous les chiffres 9, puis 317.

Si les nombres de ces 4 chiffres n’ont pas tous mˆeme parit´e, on forme une permutation multiple de 7, 11 ou 13 par le proc´ed´e suivant.

Je notea0b0c le nombre (de 2n+ 2 chiffres) 1001

n

X

k=1

c_k100^n−k=c10c2c1c3c2c4c3. . . c_kck−1c_k+1. . . cncn−10cn

avec c1 =a, c_n = c, b d´esignant la chaˆıne de 2n−2 chiffres comprise entre les z´eros extrˆemes.

Si A0B et C0D sont des multiples de 7, avec A et D chaˆınes de 0, 1 ou plusieurs chiffres,B etDnombres d’un chiffre, le nombre qui s’´ecrit AaBbCcD est multiple de 7 (de mˆeme que ACBD), quels que soient lesn chiffres utilis´es (deux fois chacun) pour former le nombrea0b0c.

Je renvoie `a la question 2 pour la description pr´ecise du multiple de 7, de 11 ou de 13 r´epondant `a un quadruplet (n1, n3, n7, n9) donn´e de nombres non tous impairs. Ainsi, sin9est pair, on introduira les chiffres 9 deux par deux dans le multiple construit au paragraphe 2a), relatif aux chiffres 1, 3 et 7. De mˆeme, on recourra au paragraphe 2d) si n1

est pair, et au paragraphe 2b) sin7 est pair. Sin3est seul pair (code de parit´e 1011), on ´evitera le cas particulier du paragraphe 2c) en formant un multiple de 7 avec le quadruplet 9,3,3,17.

1.b) Trois chiffresx et deux chiffresy.

Le chiffre 7 n’est pasy, carx7x7xest multiple de 7, nix, car 7y77yest multiple de 7.

Le chiffrey n’est pas 3 ou 9, car le nombre serait multiple de 3. Donc y= 1.

Les autres couples (x, y) = (3,1) ou (9,1) donnent les factorisations 11333 = 7×1619, 99911 = 7×14273.

Cette configuration ne donne donc aucun NPA.

Question 2

Comme avec 4 chiffres, si chacun des 3 chiffres figure en nombre pair, on obtient un multiple de 11 en ´ecrivant les chiffres en ordre croissant.

Les autres cas sont `a distinguer selon les chiffres utilis´es.

Dans les tableaux ci-dessous, plusieurs formes de multiples de 7 peuvent ˆetre n´ecessaires pour le cas o`u un chiffre en nombre impair (resp. pair) n’est pas disponible en 3 (resp. 4) exemplaires, c’est pourquoi figurent alors plusieurs quadrupletsA, B, C, D.

1

2.a) Chiffres 1, 3, 7.

Les cas sont cod´es par les restes modulo 2 de n1, n3, n7, suppos´es non tous pairs.

Le tableau donne les quadruplets A, B, C, D permetant de construire des multiples de 7AaBbCcD par le proc´ed´e vu `a la question 1a).

001 3,1,3,17 010 31,1,7,7 011 31,1,7,∅ 100 133,7,7,∅ 101 ∅,7,3,31 110 3,1,7,7 111 3,1,7,∅ 2.b) Chiffres 1, 3, 9.

Les cas sont cod´es par les restes modulo 2 de n1, n3, n9 suppos´es non tous pairs.

Cas 111 : on forme un multiple de 11 en ´ecrivant les chiffres 1 sauf un, puis les chiffres 3 sauf un, puis les chiffres 9, puis 13.

001 31,1,9,3

010 3,1,1,99

011 111,9,3,1 || 13,9,1,99 || 13,9,3,31

100 3,1,9,93

101 9,3,3,1

110 31,1,1,99 || 339,1,9,3

Cas 011 avec seulement deux 1, un 3, un 9 : 1391 est multiple de 13.

Cas 110 avec seulement un 1 et un 3 ; alors, selon que le reste den9 est 0, 2 ou 4 modulo 6, on forme un multiple de 13 en ´ecrivant 13, 9139 ou 919399 suivi de blocs 999999).

2.c) Chiffres 1, 7, 9.

Les cas sont cod´es par les restes modulo 2 de n1, n7, n9 suppos´es non tous pairs.

Cas 010 : on forme un multiple de 11 en ´ecrivant les chiffres 1, puis les chiffres 7 sauf un, puis les chiffres 9 sauf un, puis 79.

001 119,7,7,∅

011 91,7,1,99 || 7,7,7,119 100 7,7,1,99

101 ∅,7,7,91 110 ∅,7,1,99

111 111,9,7,∅ || ∅,7,7,917

Cas 011 avec seulement un 7 et un 9 : le reste modulo 6 den1 (pair) n’est pas 2, qui donnerait des nombres multiples de 3 ; si c’est 4, on forme un multiple de 13 en ´ecrivant 917111 suivi de blocs 111111 ; si n1 est multiple de 6, on forme un multiple de 13 en ´ecrivant 71111911 suivi de blocs 111111.

Cas 111 avec seulement un 1 et un 7 : selon que le reste modulo 6 de n9 (impair) est 1, 3 ou 5, on forme un multiple de 7 en ´ecrivant 791, 99197 ou 9199799 suivi de blocs 999999.

2.d) Chiffres 3, 7, 9.

Les cas sont cod´es par les restes modulo 2 de n3, n7, n9 suppos´es non tous pairs.

001 93,3,7,7 010 9,3,9,37 011 93,3,7,∅ 100 399,7,7,∅ 101 9,3,7,7 110 ∅,7,9,93 111 9,3,7,∅ 2

Question 3

Pour d´enombrer, comme le demande l’´enonc´e, les NPA < 10¹⁵, on ne voit pas de propri´et´e g´en´erale qui ´eviterait de les identifier plus pr´ecis´ement.

Dans les NPA n’utilisant qu’un chiffre, ce chiffre est ´evidemment 1 : ce sont des rep-units¹. Les rep-units premiers connus sont ceux `a 2, 19, 23, 317 et 49081 chiffres 1, seul 11 est <10¹⁵.

Les deux chiffres d’un “candidat” NPA ne sont pas en nombre ´egal>1, car on formerait un multiple de xy en ´ecrivant alternativement x et y. Plus g´en´eralement, les nombresn_x etn_y des chiffres utilis´es doivent ˆetre premiers entre eux, car en ´ecrivant tous les chiffres dans l’ordre croissant, on formerait un multiple d’un rep-unit. En particulier, les chiffres ne sont pas tous deux en nombre pair, car on formerait ainsi un multiple de 11.

Aussi, pour les NPA `a partir de 3 chiffres, vais-je d´ecrire l’ensemble des candidats utilisant les mˆemes chiffres par le quadruplet x, y, n<sub>x</sub>, n<sub>y</sub> avec n<sub>x</sub> > n<sub>y</sub> ≥ 1. Par exemple, le quadruplet 1,9,2,1 repr´esente les 3 nombres 119, 191, 911 dont aucun n’est NPA car 119 est compos´e (multiple de 7) ; `a un candidat ainsi d´ecrit correspondent plusieurs v´erifications de primalit´e (3 dans cet exemple).

D’autre part, la paire {3,9} est `a exclure, donnant des nombres mul- tiples de 3. Dans les paires {x,3} et {x,9}, le nombre des chiffres x ne doit pas ˆetre multiple de 3 car le nombre serait multiple de 3. Si le nombre total de chiffres est multiple de 3, les chiffres utilis´es ne sont pas 1 et 7, pour la mˆeme raison.

Dans les paires{x,7}, supposons les chiffresx en nombre pair, on ob- tient un multiple de 7 par le proc´ed´e de la question 1a), avec les qua- druplets (A, B, C, D) = (∅,7,7,∅) ou (∅,7,7,7) selon que le nombre de 7 est pair ou impair (`a condition, dans ce dernier cas, qu’il y en ait plus d’un). Il faut donc que les chiffres x soient en nombre impair s’il y a plus d’un chiffre 7.

1appellation anglaise, pour laquelle M.-D. Indjoudjian a propos´e l’´equivalent fran¸cais multi-as.

Dans la paire {3,7}, supposons les chiffres 7 en nombre pair, alors on obtient un multiple de 11, soit que les chiffres 3 soient en nombre pair soit, si les chiffres 3 sont en nombre impair, en ´ecrivant les chiffres 3 sauf un, puis les chiffres 7 sauf un, puis 37. Il faut donc que les chiffres 7 soient en nombre impair.

De mˆeme, dans la paire{7,9}, supposons les chiffres 9 en nombre pair, alors on obtient un multiple de 11, soit que les chiffres 7 soient en nombre pair soit, si les chiffres 7 sont en nombre impair, en ´ecrivant les chiffres 7 sauf un, puis les chiffres 9 sauf un, puis 79. Il faut donc que les chiffres 9 soient en nombre impair.

Ces remarques permettent de limiter le nombre des candidats et des tests de primalit´e, par ´elimination de multiples de 3, 11 et (pour par- tie) 7 : pour des NPA de 3 chiffres, 6 candidats et 18 tests, ce que je r´esume en 3(6,18), puis 4(6,24), 5(8,40) grˆace `a la question 1 au lieu de 5(12,80), 6(8,48), 7(15,301), 8(16,416), 9(16,864), 10(12,780), 11(25,4334), 12(16,6432), 13(28,17407), 14(22,14336), 15(21,39615).

Sans ces ´eliminations, chaque couple (x, y) donne 32752 nombres (de 3

`

a 15 chiffres) `a tester : on gagne presque un facteur 4 dans le nombre total de tests (84615).

Cependant, en programmant le calcul de fa¸con `a stopper les tests sur un quadrupletx, y, nx, ny d`es qu’apparaˆıt un nombre compos´e, le nombre r´eel de tests `a faire est bien moindre : seulement 263 pour 3 `a 15 chiffres et 199 quadruplets candidats.

On trouve ainsi :

– onze NPA de deux chiffres : 13, 17, 19, 37, 79 et leurs permutations, ainsi que le rep-unit 11 ;

– neuf NPA de trois chiffres : 113, 199, 337 et leurs permutations ; – aucun NPA de quatre `a quinze chiffres : voir la s´equence A003459 de On-line Encyclopedia of Integer Sequences

http ://www.research.att.com/ njas/sequences/A003459

3