J149‒ Figure obligée [** à la main]
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons.
Q₁ Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q₂ Démontrer qu'à l'inverse pour n = 2017, il existe au moins une configutation dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Solution proposée par Daniel Collignon
Considérons le cas de 2n jetons sur un échiquier nxn
Q₁
Montrons qu'il existe 2 rangées distinctes comportant chacune 2 jetons ayant le même écart, les 4 jetons définissant alors un parallélogramme (2 côté // et de même longueur).
Dans une rangée comportant j>=2 jetons, il y a au moins j-1 écarts distincts (les écarts entre le 1er et le ième jetons pour i=2...j).
Dans une rangée il y a au plus n-1 écarts distinctes (1 à n-1).
La rangée i possède ji jetons pour i=1...n.
U = {i tq ji=1}
D = {i tq ji>=2}
Alors somme(ji, i dans U) + somme(ji, i dans D) = 2n
D'où somme(ji-1, i dans D) = 2n - |D| - |U| >= n puisque |D| + |U| =< n
D'après le principe de Dirichlet, il y a donc 1 écart répété sur 2 rangées distinctes, CQFD.
Q₂
Dans la configuration où les 2n-1 jetons couvrent le demi-périmètre de l'échiquier il n'y a clairement aucun parallélogramme (non dégénéré)
X...X . . . X
