Enoncé D261 (Diophante) Si au moins 2, alors au moins 3
On suppose que l’aire de n’importe quel triangle formé avec trois points choisis parmi cinq points situés dans un même plan est au moins égale à 2. Démontrer qu’il existe un triangle dont l’aire est au moins égale à 3.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je vais montrer qu’avec 5 points, le rapport entre plus grande aire d’un triangle et plus petite aire d’un triangle est au moins le nombre d’or.
Parmi les 5 points donnés, il n’y en a pas 3 alignés (ils formeraient un triangle d’aire nulle).
Si l’enveloppe convexe des 5 points est un triangle ou un quadri- latère, il existe un triangle ABC contenant à son intérieur un des autres points, soit D. Alors l’aire de ABC, somme de celles des triangles DBC, DCA, DAB vaut au moins 3 fois l’aire minimum des triangles.
Reste le cas où l’enveloppe convexe est un pentagone ABCDE.
Si M est la plus grande aire d’un triangle, et m la plus petite, les 3 pointsC, D, E se situent dans une bande délimitée par deux parallèles àAB, aux distances 2m/AB et 2M/AB.
ProjetantC, D, EenC0, D0, E0surAB, supposant par exempleD0 entreC0 etE0, soitH l’intersection de DD0 etCE.
L’aire du triangleCDE vaut (1/2)DH·C0E0 ≥2, avec DH≤(2M−2m)/AB, largeur de la bande.
AinsiC0E0 ≥2m/DH ≥m·AB/(M−m).
L’aire du triangle ACE est (1/2)HD0 ·C0E0 ≥ (m/AB)C0E0 ≥ m2/(M−m), carHD0 ≥2m/AB.
Il faut doncM ≥m2/(M −m), d’où (2M−m)2 ≥5m2, 2M/m≥1 +√
5 = 3,236. . .
etM/mest au moins égal au nombre d’or. Cette limite est atteinte par les 5 sommets d’un pentagone régulier.
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