Démontrer qu’il existe un triangle dont l’aire est au moins égale à 3

D261. Si au moins 2, alors au moins 3 ****

On suppose que l’aire de n’importe quel triangle formé avec trois points choisis parmi cinq points situés dans un même plan est au moins égale à 2.

Démontrer qu’il existe un triangle dont l’aire est au moins égale à 3.

Solution de Claude Felloneau

Soient cinq points du plan tels que l’aire de chacun des triangles formés avec trois de ces points est au moins égale à 2. On désigne parA,B,C les sommets d’un triangle d’aire minimale formé par trois points pris parmi ces cinq points, etDetEles deux autres points.

On désigne par A⁰B⁰C⁰un triangle équilatéral de côté 1 et par f la transformation affine qui transformeAenA⁰,B enB⁰etC enC⁰. Les images deDetEparf sont notéesD⁰etE⁰.

Commef conserve les rapports d’aires, tous les triangles formés avec trois points pris parmiA⁰, B⁰,C⁰,D⁰,E⁰ont une aire supérieure ou égale à l’aire du triangle équilatéralA⁰B⁰C⁰.

Pour tout pointM du plan,















aire(A⁰B⁰C⁰)6aire(A⁰B⁰M)6³

2·aire(A⁰B⁰C⁰) aire(A⁰B⁰C⁰)6_aire(B⁰_C⁰_M)6³

2·aire(A⁰B⁰C⁰) aire(A⁰B⁰C⁰)6aire(C⁰A⁰M)6³

2·aire(A⁰B⁰C⁰)

si et seulement siM appartient à l’un des triangles gris de la figure ci-dessous. Ce sont des tri- angles équilatéraux de côté1

2.

b

A⁰

b B⁰

bC^{0 b}

A₁ B₁ C₁

C₂

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Si les 6 trianglesA⁰B⁰D⁰,B⁰C⁰D⁰,C⁰A⁰D⁰, A⁰B⁰E⁰,B⁰C⁰E⁰,C⁰A⁰E⁰ont une aire inférieure ou égale à3

2·aire(ABC), les pointsD⁰etE⁰appartiennent aux triangles bleus.

– Si D⁰ et E⁰ sont dans le même triangle gris, par exemple celui de sommet A₁, alors d¡

B⁰, (B1C1)¢

=3 2

p3

2 donc aire(B⁰D⁰E⁰)6_aire(B⁰_B1C1)6³ p3 16 =3

4aire(A⁰B⁰C⁰)<aire(A⁰B⁰C⁰).

Ce qui est impossible.

– SiD⁰ et E⁰ sont dans des triangles gris distincts, par exemple celui de sommet A₁ et celui de sommetC₂, alorsd¡

A⁰, (DE)¢

> d¡

A⁰, (A₁C₂)¢

= p3

2 etDE > A₁C₂=2 donc aire(A⁰D⁰E⁰)>

p3

2 =2·aire(A⁰B⁰C⁰)>3

2·aire(A⁰B⁰C⁰).

L’un des triangles formé par trois points pris parmiA4,B⁰,C⁰,D⁰etE⁰a donc un aire strictement supérieure à 3

2·aire(A⁰B⁰C⁰).

On en déduit, en appliquant la transformation affine f⁻¹, que l’un des triangle formé par les pointsA,B,C,D,E a une aire strictement supérieure à 3

2·aire(ABC), donc strictement supé- rieure à 3.

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