D189 – Les bissectrices prennent leur pied
Dans ce triangle ABC où Q et R sont les pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés opposés, il existe un point P sur BC tel que PQR est un triangle équilatéral. En déduire la valeur de l’angle en A.
Sur l’arc BC du cercle circonscrit à ABC, on trace un point D quelconque de l’autre côté de A par rapport à BC. Dans le triangle BCD, les points S, T et U sont les pieds des bissectrices du triangle BCD issues de B, C et D sur les côtés opposés. Démontrer que le triangle STU est rectangle.
Solution proposée par Patrick Gordon
Première question
Q et R étant définis comme pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés opposés, on peut calculer les longueurs des segments QA, QC, RA, RB en fonction des longueurs a, b, c des côtés du triangle, en utilisant la propriété que la bissectrice intérieure divise le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents.
Soit t l'angle ARQ pour fixer les idées. On peut, à partir des valeurs des angles A, B, C, t, calculer de proche en proche tous les angles des triangles ARQ, BPR, CQP.
Par la loi des sinus, on peut alors calculer PQ et RQ et écrire qu'ils sont égaux (par hypothèse).
Soit :
PQ = ab sin C / (a+c) sin (/3 – t + B) RQ = bc sin A / (a+c) sin t
Mais a sin C = c sin A. Reste donc : sin t = sin (/3 – t + B)
Ce qui implique :
soit t = 2/3 + t – B, c’est-à-dire B = 2/3 (ce qui serait un cas singulier)
soit t = /3 – t + B, c’est-à-dire t = /6 + B/2.
Avec la valeur t = /6 + B/2, on calcule les angles en P et R du triangle PBR et on remarque que ces angles valent tous deux /2 – B/2 et que donc le triangle PBR est isocèle (de sommet B). Quant aux angles en P et Q du triangle PCQ, ils valent respectivement /6 + B/2 et 5/6 – B/2 – C.
Or c'est arbitrairement que l'on a pris ARQ = t. Le même calcul avec AQR montrerait que le triangle PCQ est isocèle aussi (de sommet C). Par conséquent les angles en P et Q du triangle PCQ sont égaux et l'on a donc :
/6 + B/2 = 5/6 – B/2 – C, c’est-à-dire : B + C = 2/3.
D'où la réponse : A = /3.
Deuxième question
Cette question n'utilise que le fait que l'angle en D du triangle BCD vaut 2/3 mais est, à part cela, indépendante de la première.
On notera b, c, d les longueurs des côtés. Naturellement, b et c n'auront pas le même sens que dans la première question.
Pour démontrer que le triangle STU est rectangle, on peut essayer une démarche par les angles ou par le théorème de Pythagore : les calculs sont alors compliqués.
Une autre démarche consiste à calculer le produit scalaire UT.US (faute d'un procédé typographique commode, tous les segments ci-après désigneront, sauf avis contraire, des vecteurs) et à montrer qu'il vaut 0.
On a :
UT = UD + DT = UD + b/ (b+d) DB
US = UD + DS = UD + c/(c+d) DC D'où le produit scalaire :
UT.US = UD² + b/(b+d) UD.DB + c/(c+d) UD.DC + [bc / (b+d) (c+d)] DB.DC
Or les trois produits scalaires du second membre peuvent se calculer en fonction des
longueurs des segments, car les angles sont connus (/3 ou 2/3) donc aussi leurs cosinus (½ ou – ½).
Reste toutefois à exprimer la longueur UD. Une propriété connue indique que la longueur de la bissectrice intérieure UD vaut : DB.DC – UB.UC (ici ce ne sont plus des vecteurs mais des longueurs). Or les longueurs UB et UC sont aisément calculables par la propriété ci-dessus rappelée que la bissectrice intérieure (ici UD) divise le côté opposé (ici BC) dans le rapport des côtés adjacents.
Reste enfin à tenir compte de ce que b, c, d ne sont pas quelconques puisque l'angle en D est connu = 2/3.
La loi des cosinus nous donne : d² = b² + c² + bc.
Avec tous ces éléments, le calcul du produit scalaire UT.US se simplifie et donne 0, ce qui établit bien que le triangle STU est rectangle.
Complément à la deuxième question
Il a semblé intéressant de calculer les angles du triangle joignant les pieds des bissectrices intérieures d'un triangle quelconque BCD.
Avec les notations inchangées, c’est-à-dire S pied de la bissectrice issue de B, etc. et b, c, d longueurs des côtés, on trouve sans trop de peine (en commençant par l'angle en U, qui fait face au sommet D) :
[scalaire UT.US] = (bcd)² (2 cos D + 1) / [(b+c)² (b+d) (c+d)]
Reste à calculer les longueurs UT et US et à écrire que : cos² U = [scalaire UT.US]² / UT² US²
Or les carrés des longueurs UT² et US² nous sont donnés par la loi des cosinus en fonction de celles des segments BU, BT, CU, CS (qui sont eux-mêmes des fractions connues – par la propriété des bissectrices – de b, c, d) et des cosinus des angles respectifs B et C.
En développant et en simplifiant on arrive, pour cos² U (pour cos² S et cos² T, une permutation circulaire donnera le résultat), à :
cos² U = bc (2 cosD+1)² / [3b+2c+2d – 2(b+c+d) cosB] [3c+2d+2b – 2(b+c+d) cosC]
On retrouve bien cos U = 0, soit U = /2, pour D = 2/3, donc cos D = – ½.
On peut vérifier que, si le triangle BCD est équilatéral, le triangle STU l'est aussi car la formule donne cos U = ½ (soit U = /3).
Pour BCD rectangle (en D) et isocèle, on trouve cos U = 1/3 et cos S = cos T = 1/√3, c'est à dire : un angle de 70,53° et deux de 54,73° (le total est bien 180°).
