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Note sur le triangle rectiligne

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Academic year: 2022

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N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J. M ENTION

Note sur le triangle rectiligne

Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 9 (1850), p. 401-403

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__401_0>

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f 4oi )

NOTE SUR L§ TRIANGLE RECTIUGNfi

( TOlr t. IX, p. 3*4 ) ,

PAR M. J. MENTION.

DEUXIÈME PARTIE.

1. Feu M. Richardm'ayantdemandé, à plusieurs repri- ses, de lui démontrer géométriquement le contact du cercle des neuf points, voici le moyen auquel je suis parvenu il y a quelque temps.

Je me propose de mener, par le milieu d'un des côtés a, un cercle tangent au système (r, a) ou ((3, y).

Soit F le pied de la bissectrice intérieure passant par le sommet A ; ce pied est le centre de similitude interne du système (r, a)} soient D , D'les points où ( r ) , (a) touchent le côté a dont le milieu est M et K le pied de la hauteur relative à ce côté. On prouve aisément cette pro- portion : FD.FD' = FM.FK (voir GERONO, dnnales, tome III, page 49^). Ainsi le cercle cherché passe par le pied de la hauteur. Or je choisis le milieu du côté a parce qu'il est un point de Taxe radical de chacun des systèmes (r, a ) , (|3, y ) , et me voici amené à cette question spé- ciale :

« Trouver la position d'une circonférence tangente à

» deux circonférences données, et passant par un point

» de leur axe radical. »

Cette position se fixe très-nettement en faisant usage d'une solution aussi élégante que peu connue, donnée, pour le cas général, par M. Cauchy, alors élève de FÉcole Polytechnique (Correspondance sur cette Ecole, tome I , page 193), ce qui conduit au théorème suivant.

2. THÉORÈME. M, un point de l'axe radical de deux

Ann. de Mathémat., t. IX. (Novembre i85o.) 2 6

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cercles, O, O' *, A , À' les points de contact d'une des tangentes communes. Les points B, B' où les UgneslMLA 1 MA' coupent les cercles, sont tes points où h cercle tan- gent à (OA, O'A') et passant parM touche les cercles.

Le centre du cercle est situé sur la perpendiculaire abaissée de M sur la tangente commune \ et si à désigne la distance de M à cette tangente, son rayon est égal

t2

à —^} expression dans laquelle t est la longueur commune des tangentes menées par M aux deux cercles.

Conséquemment, revenant au triangle rectiligne de ci-dessus, la perpendiculaire abaissée de M sur tang (r, a) contient le centre du cercle passant par M tangentielle- ment au système (r, a) -, mais tang (r, a) est perpendicu- laire au rayon du cercle circonscrit issu du sommet À (voir ire partie, corollaire 3). Donc cette perpendiculaire est un rayon du cercle des neuf points. En voilà plus qu'il nen faut pour établir l'idenlité du cercle cherché et de celui des neuf points.

Ce procédé , appliqué aux trois systèmes où entre le cercle r, donne le théorème suivant :

Les droites qui joignent les milieux des cotés aux points de contact de tang («, r), ((3, r), (7, r) avec le cercle inscrit se coupent en un inertie point de ce cercle;

Et trois autres théorèmes analogues relatifs aux cercles ex-inscrits.

3. Axes radicaux des systèmes (r, a ) , ([B, 7).... Ces six axes sont les parallèles menées par les milieux des côtés du triangle aux six bissectrices. Ainsi les parallèles aux bissectrices externes se coupent au centre radical [z) du système (a, (3, 7)} les parallèles à la bissectrice in- terne d'un sommet et aux bissectrices externes des deux autres sommets, se coupent en des points z'', zfl', zw,cen- tres radicaux des trois systèmes (r, a , (3). De sorte que

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( 4 o 3 )

ces quatre centimes radicaux sont les centres du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits au trianglejbrmé p4f les milieux des cotés du triangle proposé.

Je terminerai par les deux énoncés suivants :

THÉORÈME. Par les points où le cercle inscrit touche les côtés , menez des parallèles aux bissectrices externes des sommets opposés à ces cotés; le triangle ainsi formé et le triangle z( z" zvl ont pour centre de similitude le point de contact du cercle inscrit et de celui des neuf points.

THÉORÈME. Par les points où Vun des trois cercles « inscrits (a) touche les prolongements des côtés, menez des parallèles aux bissectrices externes des sommets op*

posés à ces côtés, et une parallèle à la bissectrice interne du troisième sommet par le dernier point de contact; le triangle ainsi formé et le triangle zz" zw ont pour een~

tre de similitude le point de contact du cercle ex-in- scrit (a) et de celui des neuf points.

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