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D10584. À touche-touche Soit le triangle

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Academic year: 2022

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D10584. À touche-touche

Soit le triangleABC,O le centre du cercle circonscrit. Un cercle Γ, passant parA et centré sur la hauteur abaissée de A, coupeAB etAC en P etQ.

On suppose queBP.CQ=AP.AQ.

Montrer que le cercle circonscrit au triangleBOC est tangent à Γ.

Solution de Bernard Legrand1 1/ Construction du cercle Γ

BP.CQ= AP.AQP B/P A = QA/QC. Q est donc le transformé de P dans une similitude (Σ), qui transforme le vecteurAB en le vecteurCA (et le milieu C0 de AB en le milieu B0 de AC). Le rapport de cette similitude est évidemment b/c, où b et c désignent les longueurs des segments AC et AB, soitS son centre.

Les droites AP B et SP sont transformées par (Σ) en les droites AQC et SQ; par conséquent (AP, AQ) = (SP, SQ), les quatre points A, S, P, Q sont cocycliques. LorsqueP décrit la droiteAB etQla droiteAC, le cercle circonscrit au triangleAP Qvarie donc en passant par Aet S.

S est ainsi, en particulier, sur le cercle circonscrit au triangle AB0C0, dont AOest un diamètre, et, bien sûr, sur Γ.

En outre, SC0/SB0 = b/c = AC0/AB0, et donc C0S/C0A = B0S/B0A : les points B0 et C0 sont sur un cercle lieu des points dont le rapport des distances à A et S est constant. Le centre T0 de ce cercle, orthogonal au cercle circonscrit àAB0C0, est surAS, et T0 est le pôle deB0C0 par rapport au cercleASC0B0.

OSest perpendiculaire àAS et coupe enS0 la hauteur deABC issue deA: le cercle Γ, centré sur cette hauteur, est le cercle de diamètreAS0, circonscrit au triangle AS0S.

2/ Remarque sur le cercleOBC

SiT désigne le pôle deBCpar rapport au cercle circonscrit au triangleABC, le cercle de diamètre OT est évidemment circonscrit au triangleOBC.

3/Conclusion

L’homothétie de centreAde rapport 2 transformeT0 enT. Les pointsA,S, T0 et T sont donc alignés. Les triangles AS0S et T OS sont homothétiques et il en va de même de leurs cercles circonscrits, qui sont donc tangents en S, ce qu’il fallait démontrer.

1. Dans tout ce qui suit, les barres de mesure algébrique sont sous-entendues.

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