2.8 Trigonométrie dans le triangle rectangle

4ème GEOMETRIE COURS-Ex

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2.8 Trigonométrie dans le triangle rectangle

La trigonométrie (de « tri-gonas-metron » : trois-angle-mesure) consiste à établir des relations entre les longueurs des côtés d’un triangle et les mesures de leurs angles.

Ces relations utilisent des valeurs intermédiaires (celles qui font le lien) : les lignes trigonométriques.

Celles-ci se nomment sinus, cosinus et tangente.

En classe de quatrième, on aborde le cosinus d’un angle aigu, en s’appuyant sur un triangle rectangle.

Soit un triangle ABC rectangle en A.

Le côté [BC] se nomme hypoténuse.

Par rapport à l’angle au sommet B, - le côté [BA] est dit adjacent à l’angle, - le côté [AC] est dit opposé à l’angle.

Le cosinus de l’angle au sommet B est le nombre ^cos

( )

^{B BA}

BC

adjacent hypoténuse

= =

Remarque : comme BA ≤ BC, on a ^0<cos

( )

^{B ≤1}

A l’aide de la calculatrice, sans figure :

- pour déterminer le cosinus d’un angle, on utilise la touche cos

exemple : ^cos

( )

^{30° ≈0,866} calculatrice : cos 30 = 0.866025404 (le côté adjacent mesure 86,6% de l’hypoténuse)

- pour déterminer la mesure d’un angle dont on connaît le cosinus, on utilise cos exemple : ^cos−1

(

^0,866

)

^{≈ °30} calculatrice : cos 0.866 = 30.002910931 Exercices

1) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7. Déterminer les angles aux sommets B et C.

2) A l’aide d’un triangle équilatéral, démontrer que ^cos

( )

^{60° =0,5.}

3) A l’aide d’un triangle rectangle isocèle, déterminer la valeur exacte de ^cos

( )

^{45° .}

4) Soit un triangle ABC tel que l’angle BAC mesure 100°. On définit le point H sur le segment [BC] tel que les droites (AH) et (BC) soient perpendiculaires. On a : AB = 6 cm et HAC = 60°. Calculer la hauteur AH du triangle ABC.

5) Sur le dessin suivant, on a AB = 3 m, CE = 2 m et B = 60°.

a. Calculer les angles DAB et DAC.

b. Calculer les longueurs BC, CA, EF et DA.

6) Sur la figure suivante, on a AB = 20 cm, CD = 7 cm, BD = 25 cm et BC = 24 cm.

a. Calculer AD.

b. Montrer que BCD est un triangle rectangle en C.

c. Calculer ABD et CDB.

d. En déduire ABC.

cos^-1 cos^-1