DÉMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE EXERCICES TYPE

DÉMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE EXERCICES TYPE

1 Trace le cercle de diamètre [SR] tel que SR = 7 cm puis place sur ce cercle un point H tel que RH = 4 cm. Démontre que le triangle RHS est rectangle en H.

2 MON est un triangle, U est le milieu de [MN]

et on a : MN = 8 cm ; OU = 4 cm. Démontre que le triangle MON est rectangle en O.

Données

Le point H appartient au cercle de diamètre [SR].

Propriété

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce

diamètre pour hypoténuse.

Conclusion

Le triangle SHR est rectangle en H.

Étape préliminaire : Dans le triangle MNO, [OU] joint le sommet O et le milieu U de [MN] donc [OU] est la médiane relative au côté [MN].

Données Dans le triangle MNO,

[OU] est la médiane relative au côté [MN], MN = 8 cm et OU = 4 cm.

Propriété

Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de ce côté alors ce triangle

est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.

Conclusion

Le triangle MNO est rectangle en O.

3 NEZ est un triangle tel que NE = 75 cm ; EZ = 45 cm et NZ = 60 cm. Démontre que ce triangle est rectangle.

4 Le triangle PAF est tel que PAF=33° et

PFA=57°. Démontre que ce triangle est rectangle.

Dans le triangle NEZ, le plus long côté est [NE] donc on calcule séparément NE² et EZ² + NZ² :

D'une part, NE² = 75² NE² = 5625

D'autre part, EZ² + NZ² = 45² + 60² EZ² + NZ² = 2025 + 3600

EZ² + NZ² = 5625 On constate que NE² = EZ² + NZ².

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NEZ est rectangle en Z.

Si un triangle a deux angles complémentaires alors il est rectangle.

Dans le triangle PAF, on a : PAF + PFA = 33°+57°=90°.

Le triangle PAF possède deux angles complémentaires donc il est rectangle en P.

5 Le triangle ABC est tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm. Le point H est le pied de la hauteur issue de A. Quelle est la nature du triangle AHC ?

6 Le triangle EFG est tel que EF = 3,2 cm, FG = 5,3 cm et EFG=36°. La médiatrice de [FG]

coupe [FG] en J et [EG] en K. Démontre que le triangle KJG est rectangle.

Dans le triangle ABC, le point H est le pied de la hauteur issue de A.

Or, une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Donc (AH)

⊥

La médiatrice de [FG] coupe [FG] en J et [EG] en K.

Or, la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Donc (JK)

⊥

∈

⊥

7 Dans un triangle ABC rectangle en A, les points D et H sont des points respectivement de [BC] et [AC] tels que (DH) // (AC). Quelle est la nature du triangle DHB ?

8 Soit C le cercle de centre O et de rayon 5 cm.

La droite (d) est la tangente au cercle C en A. Le point B est un point quelconque de (d). Quelle est la nature du triangle OAB ?

On sait que le triangle ABC est rectangle en A donc (AC) // (AB), et on sait également que (DH) // (AC).

Or, si deux droites sont parallèles et qu'une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est

perpendiculaire à l'autre.

Donc (DH)

⊥

∈

⊥

(HB), le triangle DHB est rectangle en H.

La droite (BA) est la tangente au cercle C en A.

Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon du cercle qui a pour extrémité ce point.

Donc (BA)

⊥

DÉMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE PROPRIÉTÉS UTILES

P1. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.

(d1) ⊥ (d3) et (d1) // (d2) donc (d2) ⊥ (d3).

P2. Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai pour le carré qui est un losange particulier.)

ABCD est un losange donc (AC) ⊥ (BD).

P3. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai pour le carré qui est un rectangle particulier.)

ABCD est un rectangle donc

(AB) ⊥ (BC), (BC) ⊥ (CD), (CD) ⊥ (AD) et (AD) ⊥ (AB).

P4. Si un triangle possède un angle droit, alors il est rectangle en ce sommet.

BAC = 90°

d'où

le triangle ABC est rectangle en A

P5. Si un triangle a deux angles complémentaires alors il est rectangle.

Les angles ABC et ACB sont complémentaires

d'où ABC est un triangle

rectangle en A

P6. Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment.

(d) est la médiatrice du segment [AB] donc

(d) est perpendiculaire à [AB].

P7. Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a pour extrémité ce point.

(d) est tangente en M au cercle de centre O

donc

(d) est perpendiculaire à [OM].

P8. Réciproque du théorème de Pythagore :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et il admet ce plus grand côté pour hypoténuse.

Dans le triangle ABC, BC² = AB²  AC²

donc

le triangle ABC est rectangle en A.

P9. Si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté pour hypoténuse.

Dans le triangle ABC, O est le milieu de [BC] et

OA = BC 2

donc le triangle ABC est rectangle en A.

P10. Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et il admet ce diamètre pour hypoténuse.

C appartient au cercle de diamètre [AB]

donc

ABC est un triangle rectangle en C.

A

B

C D

A B

D C (d3)

(d2) (d1)

A B

(d)

A B

C

O A

B C

A

B O C

A B

C

A B

C

O M

(d)